Касательная плоскость и нормаль к поверхности онлайн
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M(x,y,z) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 0 , y = 1 , тогда z = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М(x, y, z), принадлежащей ей, если x = –1, y = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М(x, y, z) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z, подставив заданные x = –1 и y = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х, y) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x,y,z).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 1, y = 2, тогда z = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Математический анализ
- Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.
Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.
Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$
В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac
Примеры:
7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=sin xcos y$ в точке $(pi/4, pi/4, pi/4).$
Решение.
Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac
Находим частные производные:
$z’_x=(sin xcos y)’_x=cos xcos y;$
$z’_y=(sin xcos y)’_y=-sin xsin y;$
Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-frac
7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$
Решение.
Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$
Находим частные производные:
Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$
Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$
Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-frac<25><2>)+(-frac<25><2>+2cdot 6)(y-6)Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-frac<25><2>)-frac<1><2>(y-6)Rightarrow 2x+frac<1><2>y+z-11-25-3=0Rightarrow$$ $$Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$
Ответ: $4x+y+2z-78=0.$
7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$
Решение.
Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$
$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$
Находим частные производные:
Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$
Ответ: $2x+7y-5z+4=0.$
Домашнее задание.
7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^
7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tgfrac
7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^
7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $frac
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Математический анализ
- Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.
Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.
Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$
В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac
Примеры:
7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=sin xcos y$ в точке $(pi/4, pi/4, pi/4).$
Решение.
Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$frac
Находим частные производные:
$z’_x=(sin xcos y)’_x=cos xcos y;$
$z’_y=(sin xcos y)’_y=-sin xsin y;$
Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-frac
7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$
Решение.
Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$
Находим частные производные:
Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$
Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$
Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-frac<25><2>)+(-frac<25><2>+2cdot 6)(y-6)Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-frac<25><2>)-frac<1><2>(y-6)Rightarrow 2x+frac<1><2>y+z-11-25-3=0Rightarrow$$ $$Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$
Ответ: $4x+y+2z-78=0.$
7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$
Решение.
Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$
$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$
Находим частные производные:
Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$
Ответ: $2x+7y-5z+4=0.$
Домашнее задание.
7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^
7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tgfrac
7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^
7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $frac
Форум преподавателей «Ваш репетитор»
Уравнение касательной плоскости:
0*(х-2)+2(у-1)+4(z+1)=0
2y+4z+2=0
Сначала мне показалось, что что-то не то.
Стал писать ответ, но пока писал и проверял, вроде бы всё сошлось.
«В малом», в маленькой окрестности точки M0, поверхность
и касательная плоскость должны «совпадать», хорошо прилегать друг к
другу. Должны совпадать все их частные производные первого порядка.
Если уравнение записать в виде (y-1)/2=(z+1)/4, то это будет ОДНО
уравнение. Одно уравнение задаёт в трёхмерном пространстве плоскость.
Нормаль — это прямая линия. Прямую линию в пространстве нельзя задать
одним линейным уравнением. Поэтому уравнений должно быть два, каждое
задаёт какую-то плоскость, в пересечении двух плоскостей и получается
прямая.
Можно добавить уравнение x=2.
Если интересно, то ваша задача легко решается без привлечения матанализа — методами одной лишь аналитической геометрии.
Выделяя полные квадраты, запишем уравнение поверхности в виде:
.
Это сфера с центром в точке 
.
Искомой нормалью будет прямая 
с направляющим вектором 
. Отсюда сразу получаем канонические уравнения нормали:
.
Вектор 
является в то же время нормальным вектором касательной плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид:
.
Свободный член 
находим, подставляя в данное уравнение координаты точки 
. Получим 
, откуда искомое уравнение плоскости:
