Отбор корней в тригонометрических уравнениях онлайн

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

При пользовании «Инфоуроком» вам не нужно платить за интернет!

Минкомсвязь РФ: «Инфоурок» включен в перечень социально значимых ресурсов .

Описание презентации по отдельным слайдам:

Знать: устройство координатной плоскости; расположение точек на тригонометрической окружности; знаки тригонометрических функций; местоположение точек, соответствующих наиболее распространенным значениям углов и углов, связанных с ними формулами приведения; графики тригонометрических функций и их свойства.

Уметь: отмечать на тригонометрической окружности точки, соответствующие положительным и отрицательным углам поворота радиуса; соотносить значения тригонометрических функций с местоположением точки на тригонометрической окружности; записывать значения углов поворота радиуса, соответствующих симметричным точкам на тригонометрической окружности; записывать значения аргументов тригонометрических функций по заданным точкам на графике функции с учетом периодичности функции; записывать значения переменных и находить по ним соответствующие точки на графиках функций; объединять серии корней тригонометрических уравнений.

Владеть навыками: решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств; применения тригонометрических тождеств; использования различных методов решения уравнений; решения двойных линейных неравенств; оценивания значений иррациональных чисел.

Пусть Если то Если то Пусть Если то Если то Если то Промежутку принадлежат корни:

Пусть Тогда Корень, принадлежащий промежутку Пусть Тогда Корень, принадлежащий промежутку Пусть Тогда Корень, принадлежащий промежутку

Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности Пример: 1. а) решите уравнение sin x sin 2x = sin2 x, б) определите корни принадлежащие интервалу . Решение. sin x sin 2x – sin2 x = 0 sin2 x (2cosx – 1) = 0 2 sin2x cosx – sin2 x = 0 sin2 x = 0 или 2cosx – 1 = 0 sin x = 0 cosx = ½ sin x 2sinxcosx – sin2 x = 0

0 0 sin x = 0 cosx = ½

Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью графиков тригонометрических функций. Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются. sin x = 0 cosx = ½ 5π/2 — π/2 — π/3 π/3 5π/3 7π/3

Спасибо за внимание

Выберите книгу со скидкой:

Математика. Экспресс-справочник для подготовки к ЕГЭ

350 руб. 107.00 руб.

ОГЭ. Математика. Большой сборник тематических заданий для подготовки к основному государственному экзамену

350 руб. 171.00 руб.

Для детского сада. Математика. Средняя группа

350 руб. 144.00 руб.

Математика. Сложение и вычитание. Уровень 3 Kumon

350 руб. 464.00 руб.

ЕГЭ. Математика. Большой сборник тематических заданий для подготовки к единому государственному экзамену. Базовый уровень

350 руб. 181.00 руб.

Математика. Вычитание. Уровень 2 Kumon

350 руб. 464.00 руб.

Математика. Дроби. Уровень 4 Kumon

350 руб. 464.00 руб.

Повтори летом! Математика. Полезные и увлекательные задания. 1 класс

350 руб. 87.00 руб.

Альбом по подготовке к школе. Математика

350 руб. 272.00 руб.

Для детского сада. Математика. Старшая группа

350 руб. 144.00 руб.

Для детского сада. Математика. Подготов. группа

350 руб. 144.00 руб.

Для детского сада. Математика. Младшая группа

350 руб. 144.00 руб.

БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА

Инфолавка — книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»

Бесплатный
Дистанционный конкурс «Стоп коронавирус»

• Крухмалева Марина Николаевна
• Написать
• 26.06.2017

Номер материала: ДБ-580094

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

• 26.06.2017
• 147

• 26.06.2017
• 391

• 26.06.2017
• 469

• 26.06.2017
• 278

• 26.06.2017
• 389

• 26.06.2017
• 280

• 26.06.2017
• 319

Не нашли то что искали?

Как организовать дистанционное обучение во время карантина?

Помогает проект «Инфоурок»

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическое уравнение – уравнение, содержащее переменную (x) в аргументе одной или нескольких тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс.

(bullet) Стандартные тригонометрические уравнения:
[begin hline text <Уравнение>& text <Ограничения>& text<Решение>\ hline &&\ sin x=a & -1leq aleq 1 & left[ begin begin &x=arcsin a+2pi n\ &x=pi -arcsin a+2pi m end end right. , n,min mathbb\&&\ hline &&\ cos x=a & -1leq aleq 1 & x=pm arccos a+2pi n, nin mathbb\&&\ hline &&\ mathrm, x=a & ain mathbb & x=mathrm, a+pi n, nin mathbb\&&\ hline &&\ mathrm,x=a & ain mathbb & x=mathrm, a+pi n, nin mathbb\&&\ hline end]

(bullet) Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:
[ <|c|c|c|c|c|c|>hline &&&&&\[-17pt] & quad 0 quad (0^ circ)& quad dfrac6 quad (30^circ) & quad dfrac4 quad (45^circ) & quad dfrac3 quad (60^circ)& quad dfrac2 quad (90^circ) \ &&&&&\[-17pt] hline sin & 0 &frac12&frac2&frac2&1\[4pt] hline cos &1&frac2&frac2&frac12&0\[4pt] hline mathrm &0 &frac3&1&sqrt3&infty\[4pt] hline mathrm &infty &sqrt3&1&frac3&0\[4pt] hline end>>]

(bullet) Основные формулы приведения:

[begin &sin left(dfrac2pm xright)=cos x\[2pt] &sin (pipm x)=mp sin x\[2pt] &cos left(dfrac2 pm xright)=pm sin x\[2pt] &cos(pi pm x)=-cos x end]

Формулы приведения для тангенса и котангенса легко вывести, зная, что [mathrm,x=dfrac quad text <и>quad mathrm,x= dfrac]

(bullet) Четность косинуса и нечетность синуса, тангенса и котангенса:

Решите уравнение [sin alpha=1]

В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на (pi) .

Данное уравнение равносильно серии корней [alpha=dfrac2+2pi n,qquad ninmathbb.] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: [dfrac2+2pi n>0quadLeftrightarrowquad n>-dfrac14 quadRightarrow] наименьшее подходящее целое (n) — это (n=0) , при котором получается (alpha=dfrac2) .
Следовательно, в ответ пойдет [dfrac2divpi=dfrac12=0,5.]

Решите уравнение [sin y=0]

В ответе укажите целый корень уравнения.

Данное уравнение равносильно серии корней [y=pi n, qquad ninmathbb.] Заметим, что единственный целый корень из этой серии получается при (n=0) и это (y=0) (все остальные корни будут вида целое число умножить на (pi) , что является иррациональным числом).

Решите уравнение [mathrm, pi x=0]

В ответе укажите наименьший положительный корень.

Данное уравнение равносильно [pi x=dfrac2+pi nquadLeftrightarrowquad x=dfrac12+n, quad ninmathbb.] Найдем положительный корень, решив неравенство [dfrac12+n>0quadLeftrightarrowquad n>-dfrac12quadRightarrow] наименьшее (n=0) , откуда (x=dfrac12) .

Решите уравнение [mathrm, dfrac x6=sqrt3]

В ответе укажите наименьший корень, принадлежащий отрезку ([0;2pi]) , деленный на (pi) .

Данное уравнение равносильно [dfrac x6=dfrac3+pi nquadLeftrightarrowquad x=2pi+6pi n, qquad ninmathbb.] Корни, принадлежащие отрезку ([0;2pi]) , найдем, решив неравенство: [0leqslant 2pi+6pi nleqslant 2piquadLeftrightarrowquad -dfrac13leqslant nleqslant 0] Целое (n) , принадлежащее отрезку (left[-frac13;0right]) , это (n=0) . Следовательно, корень (x=2pi) . Следовательно, в ответ пойдет (2) .

Решите уравнение [sin x=dfrac2]

В ответе укажите наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти, деленный на (pi) .

Данное уравнение равносильно [x_1=dfrac4+2pi nquad >> quad x_2=dfrac<3pi>4+2pi m,quad n,minmathbb.]

Видим, что в первой четверти лежит только серия (x_1=dfrac4+2pi n) . Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство: [dfrac4+2pi n>0 quadLeftrightarrowquad n>-dfrac18 quadRightarrow] наименьшее целое (n=0) , при котором получаем корень (x=dfrac4) . Следовательно, в ответ запишем (dfrac4div pi=dfrac14=0,25.)

Найдите корень уравнения [sin <9>xbiggr)> = dfrac<1><2>.] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней.

ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Решение уравнения (sin x = a) имеет вид: (x_1 = mathrm, a + 2pi n, x_2 = pi — mathrm, a + 2pi n, n in mathbb) , откуда для исходного уравнения получаем [dfrac <9>x_1 = dfrac <6>+ 2pi n, n in mathbb, qquad dfrac <9>x_2 = pi — dfrac <6>+ 2pi n, n in mathbb,] что равносильно (x_1 = 1,5 + 18n, n in mathbb) , (x_2 = 7,5 + 18n, n in mathbb) – подходят по ОДЗ. Среди корней наименьший положительный (x = 1,5) .

Решите уравнение [mathrm, dfrac x3=1]

В ответе укажите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения, деленное на (pi^2) .

Данное уравнение равносильно [dfrac x3=dfrac4+pi nquadLeftrightarrowquad x=dfrac<3pi>4+3pi n, qquad ninmathbb.]

Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: [dfrac<3pi>4+3pi n 0quadLeftrightarrowquad n>-dfrac14quadRightarrow] наибольший отрицательный корень получается при (n=0) и это (x=dfrac<3pi>4) .

Тогда произведение, деленное на (pi^2) , равно [-dfrac<9pi>4cdot dfrac<3pi>4divpi^2=-dfrac<27><16>=-1,6875.]

На этапе подготовки к ЕГЭ по математике старшеклассникам полезно повторить, как решать тригонометрические уравнения. Задания из данного раздела вызывают у учащихся определенные сложности, поэтому к ним необходимо отнестись с особым вниманием. Здесь вы можете ознакомиться с теорией, требующейся для выполнения упражнений, а также примерами с решениями тригонометрических уравнений. Обратите внимание, что подобные задания встречаются в аттестационных тестах довольно часто, поэтому пропускать повторение темы не стоит.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха!

С помощью нашего образовательного портала занятия по математике будут проходить легко, и даже одни из самых сложных уравнений не вызовут особых затруднений. На сайте «Школково» представлены все необходимые для успешной сдачи ЕГЭ материалы.

Вся основная информация по теме использования функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) располагается в разделе «Теоретическая справка», куда вы можете перейти с помощью кнопки «Ознакомиться с полной теорией». Наши преподаватели систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме. Вы быстро найдете необходимые правило и формулу, и решение тригонометрических уравнений будет даваться максимально легко.

А в разделе «Каталоги» вы сможете попрактиковаться в выполнении заданий. Здесь вы найдете множество уравнений различной сложности, в том числе профильного уровня.

Если какое-либо задание вызвало у вас затруднения, его можно добавить в «Избранное» и вернуться к нему позже для повторения или обсуждения решения с преподавателем.

База «Школково» постоянно обновляется, поэтому недостатка в задачах не будет.