Решить задачу по теории вероятностей онлайн бесплатно
Простые задачи по теории вероятности. Основная формула.
Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1. В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат — исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. «Мы вытащили какой-то шар» — тоже результат. «Мы вытащили синий шар» — результат. «Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров» — такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.
Решение. Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: «выбранный шар оказался синего цвета»
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, — то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75
Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак, 
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти — невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» — для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)
Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы 285926, 285927), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы 282857, 282856) – принцип остается тем же.
Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. (285922, 285923) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.
Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?
Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4
Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы 282855, 282858, 285924, 285928):
Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.
Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Немного отличается прототип 285925. Остались задачи про монеты (282854) и игральные кости (285853), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.
Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.
Пример 4. Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро) Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Пример 5. А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25
Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5
В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·. ·2=2 N .
Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125
То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.
Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?
Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)
Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08
Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».
Решение задач по теории вероятностей
Теория вероятностей, в отличие от классического математического анализа, часто оперирует примерами и задачами из повседневной жизни. Применение ее в таких играх, как покер и рулетка, может существенно увеличить выигрыш, особенно если интуиция – не самая сильная ваша сторона. С другой стороны, законы теории вероятностей базируются на простой логике и могут быть поняты и освоены каждым. Поэтому читателю будет полезно ознакомиться с основными понятиями и принципами решения задач по данной теме.
Исходя из определения, вероятность наступления события (будем называть это событие А) есть отношения количества вариантов развития, где А происходит (m), к общему количеству вариантов развития (m).
Очевидно, что m всегда меньше или равно n, поэтому величина P никогда не превышает единицы. С другой стороны, m и n неотрицательны, поэтому вероятность не может быть меньше нуля. Часто величину вероятности выражают в процентах, умножая исходное выражение на 100%.
Попробуйте ответить на вопрос:
Какое количество автомобилей с одинаковыми цифрами на номере вы скорее всего встретите среди 300 проехавших мимо?
Теория вероятностей тесно связана с комбинаторикой – разделом математики, изучающем в том числе размещения, перестановки, сочетания элементов из множеств. Читателю стоит освоить следующие понятия: размещение, сочетание, размещение и сочетание с повторением из n различных элементов по m в каждом, перестановка из n элементов.
Сколькими способами можно взять три разных карточных короля – сочетание из 4 элементов по 3 в каждом?
Если комбинации из трех карт могут еще отличаться порядком – например, пики–крести–черви и черви-пики-крести, – размещение из 4 элементов по 3 в каждом. Если масти могут совпадать, но порядок не важен – сочетание с повторением, а если все-таки важен – то размещение с повторением. А вот сколькими способами можно упорядочить три карты – перестановка из 3 элементов. С формулами для расчета данных величин читатель может ознакомиться в любом учебном пособии по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».
Определите, сколькими способами можно наугад достать три белых шара из урны, где 5 белых шаров и 2 черных? Какова при этом вероятность такого исхода?
В качестве следующего этапа в освоении теории вероятностей следует изучить связи между вероятностями различных событий. Читателю стоит ознакомиться с такими понятиями, как совместные и несовместные события, благоприятствующие и противоположные события, сумма(объединение) событий, произведение(совмещение) событий, полная группа событий.
В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию.
Лучник стреляет в мишень, при этом событие А состоит в том, что он поражает ее, событие А1 – стрела попадает в «десятку», а событие В – стрела летит в «молоко».
События А и B являются несовместными, так же как события А 1 и В. События А и А 1 являются совместными. Событие А 1 благоприятствует событию А, но обратное утверждение неверно. Событие B является противоположным по отношению к А и А 1 . События А и В образуют полную группу событий, а А 1 и В или А и А 1 – нет.
Совмещение и произведение событий очень наглядно иллюстрируется графически. Рассмотрим события в качестве контуров, заключающих в себе все исходы, при которых эти события происходят. При этом площадь под контуром А 1 также принадлежит к контуру А. Белым цветом будем обозначать пустое множество, а желтым — результаты суммы (объединения) или умножения (совмещения) различных комбинаций из А, А 1 и В. Почему контур А 1 внутри А?
Суммой (объединением) А и B будет событие А+В: 
Произведением (совмещением) А и B будет событие AB, которое невозможно, так как контуры А и B не пересекаются: 
Сумма А + А 1 : 
Произведение АА 1 : 
Сумма А 1 +В: 
Произведение А 1 В: 
Cо всеми вышеизложенными понятиями и с формулами для сложения и умножения вероятностей читатель аналогичным образом может ознакомиться в любом учебном пособии по данному предмету. Изображение вероятностей в качестве геометрических контуров часто помогает при решении задач с множеством заданных условий и сложными связями между ними.
Попробуйте самостоятельно изобразить события А+А 1 В, А(А 1 +В), АВ +А 1 .
Если рассматривать цепочку событий, происходящих последовательно, необходимо ввести понятие условной вероятности PA(B) – вероятности события B, при условии, что А наступило. Читателю следует ознакомиться с формулой полной вероятности и с формулой Бейеса.
В качестве примера условной вероятности существует очень интересная задача, называемая парадоксом Монти Холла:
Представьте, что вы – участник шоу, в котором вам предстоит выбирать из трех закрытых дверей одну, за которой находится приз. За двумя другими дверями ничего нет. Ведущий знает, где находится приз, и предлагает вам выбрать дверь. После вашего предположения ведущий не открывает выбранную вами дверь, но из двух оставшихся открывает ту, за которой ничего нет. После этого он предлагает вам либо оставить свой выбор прежним, либо выбрать другую дверь. Станете ли вы менять свой выбор и почему?
Для решения задач с большим количеством испытаний классические формулы с использованием сочетаний и размещений неудобны, так как вычисляются с большим трудом (чему равен факториал 10000?). Как правило, подобные задачи легко узнаваемы, и их решение заключается в применении одной формулы, в выборе оной и состоит сложность задания. Читателю стоит освоить понятия и области применения для формул Бернулли, Лапласа и Пуассона.
При написании статьи автор использовал учебное пособие «Элементы теории вероятностей и математической статистики», авт. М.Ф.Рушайло, изд. РХТУ им. Д.И.Менделеева, 2005.
Решение теории вероятностей на заказ
Мы беремся решать задачи по теории вероятностей. Чтобы заказать у нас работу, вам нужно только прикрепить файл и указать срок.
Узнать цену работы можно абсолютно бесплатно.
