Тригонометрическое неравенство онлайн с решением
Тригонометрические неравенства и методы их решения
Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.
Методы решений неравенств:
- Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
- Графическое решение тригонометрических неравенств.
- Решение неравенств методом интервалов.
При решении более сложных тригонометрических неравенств пользуются двумя основными приемами:
I. Данное неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к простейшим тригонометрическим неравенствам. При выполнении преобразований пользуются теми же приемами, что и при решении тригонометрических уравнений.
II. Применяется метод интервалов для определения числовых промежутков, в которых содержатся решения неравенства. Предварительно решается соответствующее тригонометрическое уравнение и устанавливаются интервалы знакопостоянства с учетом области определения неравенства.
Неравенство (sinx>a)
- При (|a|≥1) неравенство (sinx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .
- При (a a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
- При (−1≤a a) выражается в виде (arcsin a + 2pi n 1) неравенство (sinxge a) не имеет решений: (xin varnothing) .
- При (ale−1) решением неравенства (sinxge a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
- При (-1 решение неравенства (sinxge a) выражается в виде (arcsin a + 2pi n le x le pi — arcsin a + 2pi n,;n in mathbb
) . - Случай (a=1 ) : (x = frac
2 +2pi n,;n in mathbb ) .
Неравенство (sinx
Неравенство (sinx≤a)
- При (a≥1) решением неравенства (sinx≤a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
- При (a
- Случай (a=−1) : (x = -frac
2 + 2pi n,;n in mathbb ) .
Неравенство (cosx>a)
- При (a≥1) неравенство (cosx>a) не имеет решений: (xin varnothing) .
- При (a a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
- При (−1≤a a) имеет вид (-arccos a + 2pi n 1) неравенство (cosx≥a) не имеет решений: (xin varnothing) .
- При ( a≤−1) решением неравенства (cosx≥a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
- При (-1 решение неравенства (cosx≥a) имеет вид (-arccos a + 2pi n le x le arccos a + 2pi n,;n in mathbb
) . - Случай (a=1) : (x = 2pi n,;n in mathbb
) .
Неравенство (cosx
Неравенство (cosx≤a)
- При (a≥1) решением неравенства (cosx≤a) является любое действительное число: (xin mathbb R) .
- При (a
- Случай (a=−1) : (x = pi + 2pi n,;n in mathbb
) .
Неравенство (tgx>a)
При любом действительном значении (a) решение строгого неравенства (tgx>a) имеет вид (arctg a + pi n
Для любого значения (a) решение неравенства (tgx записывается в виде (-frac
Неравенство (tgx≤a)
При любом (a) неравенство (tgx≤a) имеет следующее решение: (-frac
При любом (a) решение неравенства (ctgx>a) имеет вид (pi n
Для любого значения (a) решение неравенства (ctgx лежит в открытом интервале (arcctg a + pi n
Неравенство (ctgx≤a)
При любом (a) решение нестрогого неравенства (ctgx≤a) находится в полуоткрытом интервале (arcctg a + pi n le x frac12) .
Решение: Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.
Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть (y=cosx и y=frac12) . Выделим промежутки, на которых график функции косинус (y=cosx) расположен выше графика прямой (y=frac12) .
Найдем абсциссы точек (x_1 и x_2) – точек пересечения графиков функций (y=cosx и y=frac12) , которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство: (x_1=-arccosfrac12=-frac
Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом (2pi) , ответом будут значения x из промежутков ((-frac
Второй способ. Построим единичную окружность и прямую (x=frac12) (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим (P_
Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы ((-frac
