Elettracompany.com

Компьютерный справочник
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону

Задача 29114 4. Случайные ошибки измерения подчинены

УСЛОВИЕ:

4. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением сигма =1 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Пусть случайная величина Х — ошибка измерения.

Так как вероятность отклонения нормально распределенной случайной вели­чины Х от ее математического ожидания а по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε вычисляется по формуле:
P(|X-a|

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 3125 ⌚ 28.07.2018. математика 1k класс

Решения пользователей

Написать комментарий

В прошедшем году страна имела следующие показатели, ден. ед.: ВНП — 500; чистые инвестиции частного сектора — 75; государственные закупки — 80; потребление домашних хозяйств — 250; поступление в государственный бюджет прямых налогов — 30; косвенных — 20; субвенции предпринимателям — 25; экспорт — 150; импорт — 110.
Определить:
а) располагаемый доход домашних хозяйств;
б) амортизационный фонд (D);
в) состояние государственного бюджета.

а) Определим величину НД на основе данных о его использовании
у = 250 + 75 + 80 + 150 – 110 = 445.

Поскольку прямые налоги составляют 30 ден. ед., то располагаемый доход:
yv = 445 – 30 = 415.

б) Амортизационный фонд (D) соответствует разности (ВНП— ЧНП). В свою очередь ЧНП = 445 + 20 – 25 = 440.
Следовательно, D = 500 – 440 = 60.

в) Состояние госбюджета характеризуется разностью между государственными расходами и поступлениями в бюджет
δ= (80 + 25) – (30 + 20) = 55.
ТОЛЬКО ПОДСТАВЬ СВОИ ЦИФРЫ.

опираться на традиционный подход, при котором учитывается, что окончания, как и другие морфемы, являются двусторонними единицами, то есть имеют не только форму, но и значение. Окончания имеют грамматические значения, которые характеризуют словоформу как принадлежащую к определенному классу и обязательны для всех словоформ данного класса. Окончания с одним и тем же грамматическим значением считаются одинаковыми, даже если не полностью совпадают по звуко-буквенному оформлению. Так, традиционно считается, что в словоформах большой (книги) и синей (книги) одно и то же окончание, потому что оно выражает одно и то же грамматическое значение (ж.р., ед.ч., Р.п.) и при этом представлено в словах одного грамматического класса — прилагательных. Различия в произношении и в написании (-ой и -ей) связаны с тем, что во втором прилагательном основа заканчивается на мягкий согласный. При совпадающем произношении и написании окончания считаются разными, если выражают разные грамматические значения. Так, в словоформах большой (дом), большой (книги), (к) большой (книге), большой (книгой), (о) большой (книге) окончания разные — омонимичные, так как при внешнем совпадении они выражают разные грамматические значения: большой (дом) — м.р., ед.ч., И.п., большой (книги) — ж.р., ед.ч., Р.п., (к) большой (книге) — ж.р., ед.ч., Д.п., большой (книгой) — ж.р., ед.ч., Т.п., (о) большой (книге) — ж.р., ед.ч., П.п.

Важным является также то, что каждое окончание всегда является элементом какого-либо набора окончаний, которые именно в противопоставлении друг другу реализуют свое значение. Рассмотрим словосочетания большой победой и большой столовой. У прилагательного и существительного в словосочетании большой победой окончания разные, хотя внешне они совпадают и оба имеют значение ед.ч., Т.п. Дело в том, что каждое из этих окончаний противопоставлено разным единицам, является элементом разных наборов окончаний. Окончание ‑ой в большой противопоставлено другим окончаниям прилагательных, а -ой в победой противопоставлено другим окончаниям существительных первого склонения. Окончания прилагательного и существительного в словосочетании большой столовой считаются одинаковыми: хотя слово столовая является существительным, его окончания типичны для прилагательных[ii]. Оно сохранило часть набора окончаний прилагательного: имеет такие же окончания, как прилагательное в сочетании столовая комната.

С учетом сказанного выше можно выделить такие группы словоформ с одинаковыми окончаниями[iii]:

1. каша, семья, борода — окончания существительных 1 склонения в единственном числе, в И.п.;

2. кальций, стол, патриций — нулевые окончания существительных 2 склонения мужского рода в единственном числе, в И.п.;

3. море, сражение — окончания существительных 2 склонения среднего рода в единственном числе, в И.п.;

4. морей, людей — окончания существительных во множественном числе, в Р.п.;

5. синий, бледнолицый, большой, рабочий, нищий, заведующий – окончания прилагательных в мужском роде, в единственном числе, в И.п.;

6. большая, столовая, синяя — окончания прилагательных в женском роде, в единственном числе, в И.п.;

Читать еще:  Java lang exceptionininitializererror java lang exceptionininitializererror

7. последние, красивые — окончания прилагательных во множественном числе, в И.п.

Приписав окончаниям указанные грамматические значения, мы получили 7 групп. Вне группы (если считать, что в группе должно быть больше одного элемента) оказались словоформы синей (окончание прилагательного в женском роде, в единственном числе, в Т. п.) и революцией (окончание существительного 1 склонения в единственном числе, в Т. п.).

Заметим, что при другом выборе значений из числа омонимичных можно получить другое разбиение на группы.

Примеры. Основные теоретические сведения;

Основные теоретические сведения

Нормально распределенная случайная величина Х имеет плотность вероятности:

Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина Х попадёт в интервал (a; b) равна:

где

Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:

, где .

− функция Лапласа (приложение 2, стр.80)

Пример 1. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением = 2,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60т.

Решение. Воспользуемся формулой:

, .

По таблице приложения 2 (стр.80) находим: , .

.

Пример 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. По условию:a =10, b=50, а=30, s =10, следовательно,

По таблице приложения 2 (стр.80) находим Ф(2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Решение. Обозначим рост наугад взятого взрослого мужчины через X.

По условию задачи а=180, Δ=7, σ=7. Требуется найти .

Тогда .

Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид

,

где a-математическое ожидание, — среднее квадратичное отклонение X. Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β):

,

где — функция Лапласа.

Пример 99. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х примет значение: а) в интервале (-1,2); б) меньше -1; в) больше 2; г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше, чем на 1.

Решение. По условию задачи a=0, σ=2, тогда:

а)

б)

в)

г)

Здесь значения функции Φ(x) были найдены по таблице и учитывалось, что Φ(-x) = -Φ(x), а .

100. Плотность распределения ошибки выходного параметра РЭА имеет вид

.

Сборочные операции изменяют числовые характеристики распределения, не изменяя закона. Что больше увеличивает вероятность появления брака: систематическое смещение значения ошибки выходного параметра на а единиц или увеличение дисперсии ошибки на эти же а единиц?

101. Математическое ожидание и дисперсия случайного напряжения с нормальным распределением равны 10 В и 25 В 2 соответственно. Какова вероятность того, что измеренное значение напряжения

а) будет больше 0?

б) будет находиться в интервале от 0 до математического ожидания?

в) будет в два раза больше математического ожидания?

102. Широко распространенный метод обнаружения сигнала в присутствии шума заключается в установлении определенного порогового уровня, с кото­рым производится сравнение результатов измерения напряжения, включающего полезный сигнал и шум. Если установленный порог превышается, то считают, что полезный сигнал присутствует. Естественно, иногда и при отсутствии сиг­нала шум превосходит этот порог, и такая ситуация называется ложной тре­вогой. Желательно, чтобы вероятность ложной тревоги была ничтожно мала. В то же время необходимо, чтобы результат любого измерения, проведенного при наличии сигнала, смешанного с шумом, с большой вероятностью превосхо­дил установленный порог. Она называется вероятностью правильного обнаружения и должна как можно меньше отличаться от 1. Пусть шум характеризуется нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1В 2 , а установленный порог равен 5 В.

а) Определите вероятность ложной тревоги.

б) Определите вероятность правильного обнаружения сигнала величиной 8 В в присутствии шума с заданными выше параметрами.

103. Математическое ожидание и среднее вадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15, 25).

104. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

105. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

Читать еще:  Javascript trim string

106. Вывести «правило трех сигм»: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. 107. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр X. Считая, что X—нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием а=10мм и средним квадратическим отклонением σ = 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Нормальное распределение

Нормальным законом распределения (законом Гаусса) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если ее плотность вероятности определяется следующей формулой:

где а и a 2 = D(X) — параметры распределения, интерпретируемые соответственно как математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия случайной величины X.

Соответствующая функция распределения вероятностей случайной величины имеет следующий вид:

График плотности вероятности /х) и функции распределения F(x) для нормального закона распределения случайной величины X представлены на рисунке.

Плотность вероятности/(х) и функция распределения F(x)

Отметим некоторые свойства графика/х).

  • 1. График плотности вероятности fix) имеет колоколообразный вид и симметричен относительно прямой х = а.
  • 2. В точке х-а функция достигает максимума: fmax = 1/(о/2л).
  • 3. Параметр а характеризует форму кривой распределения: чем меньше а, тем «уже» и «выше» график/*).
  • 4. На участке от (х-о) до (х+о) размещается 68,3% всех значений*, (х-2о,х+2а) —95,4%, (х-За,х+Зо)—99,7%.

Нормальное распределение с параметрами а и а кратко записывается как X

N(a, а). Нормальное распределение X

с параметрами а = 0, а = 1 называется стандартным или нормированным. Обозначение: X

Функция распределения F(x) случайной величины X

N(a, ст) может быть выражена через функцию Лапласа

Вероятность того, что случайная величина при нормальном распределении примет значение, принадлежащее интервалу (дц, хт):

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 6 (по абсолютной величине),

В частности, при а = 0 справедливо равенство

Пример 6.10. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание равно 170 см, а дисперсия — 36. Найти плотность вероятности этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 до 172 см.

Решение. Пусть случайная величина X выражает рост взрослых мужчин, Х -из наудачу выбранных четырех мужчин имеет рост от 168 до 172 см.

По условию математическое ожидание а=170, а дисперсия ?> = 36. Отсюда среднее квадратичное отклонение

Следовательно, искомая плотность вероятности

Подставив Х = 168, *2 = 172, а- 170, о = 6, и учитывая свойство функции Лапласа Ф(-х) = — Ф(х), получим

По таблице прил. 2 находим 2Ф(0,33) = 2 • 0,1293 = 0,2586.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина имеет рост от 168 до 172 см

Обозначим AhA2,A3 и Л4 — события, состоящие в появлении мужчин с ростом от 168 до 172 см соответственно в первом, втором, третьем и четвертом испытаниях. Эти события независимы в совокупности и имеют одинаковую вероятность:

По формуле (3.8) искомая вероятность того, что хотя бы один из наудачу взятых четырех мужчин имеет рост от 168 до 172 см равна

Пример 6.11. Исследования показали, что здоровые люди в значительной мере отличаются по содержанию в крови фермента каталазы. В табл. 6.6 приведены данные обследования 1000 людей. Определите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение фермента каталазы. Сравните данные распределения с нормальным законом, имеющим те же параметры и о).

Таблица 6 . 6 . Содержание в крови фермента каталазы

Типовые непрерывные распределения случайных величин

Равномерное распределение. Случайная величина X имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке

[а, Ь. Равномерную плотность распределения случайной величины X(рис. 10.5, а) можно определить как:

Рис. 10.5. Равномерное распределение случайной величины: а — плотность распределения; б — функция распределения

Функция распределения случайной величины X имеет вид:

График функции равномерного распределения показан на рис. 10.5, б.

Преобразование Лапласа равномерного распределения вычислим по (10.3):

Математическое ожидание и дисперсия легко вычисляются непосредственно из соответствующих определений:

Аналогичные формулы для математического ожидания и дисперсии можно также получить с использованием преобразования Лапласа по формулам (10.8), (10.9).

Рассмотрим пример системы сервиса, которую можно описать равномерным распределением.

Движение транспорта на перекрестке регулируется автоматическим светофором, в котором 1 мин горит зеленый свет и 0,5 мин — красный. Водители подъезжают к перекрестку в случайные моменты времени с равномерным распределением, не связанным с работой светофора. Найдем вероятность того, что автомобиль проедет перекресток, не останавливаясь.

Момент проезда автомобиля через перекресток распределен равномерно в интервале 1 + 0,5 = 1,5 мин. Автомобиль проедет через перекресток, не останавливаясь, если момент проезда перекрестка попадает в интервал времени [0; 1]. Для равномерно распределенной случайной величины в интервале [0; 1,5] вероятность попадания в интервал [0; 1] равна 1/1,5=2/3. Время ожидания Гож есть смешанная случайная величина. С вероятностью 2/3 она равна нулю, а с вероятностью 0,5/1,5 принимает любое значение между 0 и 0,5 мин. Следовательно, среднее время и дисперсия ожидания у перекрестка

Экспоненциальное (показательное) распределение. Для экспоненциального распределения плотность распределения случайной величины можно записать как:

где А называют параметром распределения.

График плотности вероятности экспоненциального распределения дан на рис. 10.6, а.

Функция распределения случайной величины с экспоненциальным распределением имеет вид

Рис. 10.6. Экспоненциальное распределение случайной величины: а — плотность распределения; б — функция распределения

График функции экспоненциального распределения показан на рис. 10.6, 6.

Преобразование Лапласа экспоненциального распределения вычислим по (10.3):

Покажем, что для случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение, математическое ожидание равно среднеквадратическому отклонению а и обратно параметру А,:

Таким образом, для экспоненциального распределения имеем: Можно также показать, что

т.е. экспоненциальное распределение полностью характеризуется средним значением или параметром X .

Экспоненциальное распределение обладает рядом полезных свойств, которые используются при моделировании систем сервиса. Например, оно не имеет памяти. Когда , то

Другими словами, если случайная величина соответствует времени, то распределение оставшейся длительности не зависит от времени, которое уже прошло. Данное свойство иллюстрирует рис. 10.7.

Рис. 10.7. Иллюстрация свойства отсутствия памяти для экспоненциального распределения

Рассмотрим пример системы, параметры функционирования которой можно описать экспоненциальным распределением.

При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время работы прибора Т от его включения до возникновения неисправности распределено по экспоненциальному закону с параметром X. При обнаружении неисправности прибор сразу поступает в ремонт, который продолжается время /. Найдем плотность и функцию распределения промежутка времени Г, между двумя соседними неисправностями, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что время Тх будет больше 2t.

Так как ,то

Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Из (10.48) следует, что нормальное распределение определяется двумя параметрами — математическим ожиданием т и дисперсией а 2 . График плотности вероятности случайной величины с нормальным распределением при т=0, а 2 =1 показан на рис. 10.8, а.

Рис. 10.8. Нормальный закон распределения случайной величины при т = 0, ст 2 = 1: а — плотность вероятности; 6 — функция распределения

Функция распределения описывается формулой

График функции распределения вероятности нормально распределенной случайной величины при т = 0, а 2 = 1 показан на рис. 10.8, б.

Определим вероятность того, что Xпримет значение, принадлежащее интервалу (а, р):

где — функция Лапласа, и вероятность того,

что абсолютное значение отклонения меньше положительного числа 6:

В частности, при т = 0 справедливо равенство:

Как видно, случайная величина с нормальным распределением может принимать как положительные значения, так и отрицательные. Поэтому для вычисления моментов необходимо использовать двустороннее преобразование Лапласа

Однако этот интеграл не обязательно существует. Если он существует, вместо (10.50) обычно используют выражение

которое называют характеристической функцией или производящей функцией моментов.

Вычислим по формуле (10.51) производящую функцию моментов нормального распределения:

После преобразования числителя подэкспоненциального выражения к виду получим

так как является интегралом нормальной плотности вероятности с параметрами т + so 2 и а 2 . Следовательно,

Дифференцируя (10.52), получим

Из данных выражений можно найти моменты:

Нормальное распределение широко распространено на практике, так как, согласно центральной предельной теореме, если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Рассмотрим пример системы, параметры которой можно описать нормальным распределением.

Предприятие изготовляет деталь заданного размера. Качество детали оценивается путем измерения ее размера. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а — Юмкм. Найдем вероятность того, что ошибка измерения не будет превышать 15 мкм.

По (10.49) находим

Для удобства использования рассмотренных распределений сведем полученные формулы в табл. 10.1 и 10.2.

Таблица 10.1. Основные характеристики непрерывных распределений

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector