Производные для чайников с нуля 1 курс
Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений
Доверь свою работу кандидату наук!
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Производная, основные определения и понятия
Содержание:
Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.
Пусть х – это аргумент функции f ( x ) и ∆ x возьмем малое число, не равное 0 . Значение ∆ x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x + ∆ x .
Когда значение аргумента x 0 переходит к x 0 + ∆ x , тогда и значение функции меняется от f ( x 0 ) до f ( x 0 + ∆ x ) , если имеется условие монотонности функции из отрезка [ x 0 ; x 0 + ∆ x ] . Приращение функции f ( x ) – это разность f ( x 0 + ∆ x ) — f ( x 0 ) = ∆ f ( x ) приращения аргумента. Это приведено на рисунке, расположенном ниже.
Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f ( x ) = sin ( x 2 ) , тогда следует зафиксировать точку x 0 = 1 . 6 и приращение аргумента вида ∆ x = 0 . 4 . Тогда получим, что приращение функции при переходе от x 0 = 1 . 6 к x 0 + ∆ x = 1 . 6 + 0 . 4 = 2 будет равно:
∆ f ( x ) = ∆ sin ( x 2 ) = sin ( ( x 0 + ∆ x ) 2 ) — sin ( x 0 2 ) = = sin 2 2 — sin 1 . 6 2 = sin 4 — sin 2 . 56 ≈ — 1 . 306
Так как приращение ∆ f ( x ) отрицательное из отрезка [ 1 . 6 ; 2 ] , то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.
Определение производной функции в точке
Когда функция вида f ( x ) определена из промежутка ( a ; b ) , тогда x 0 и x 0 + ∆ x считаются точками данного промежутка. Производная функции f ( x ) в точке x 0 — это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆ x → 0 . Данное определение записывается как f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x .
Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.
Функция f ( x ) дифференцируема в точке x 0 , если конечная производная в ней существует.
Когда функция вида f ( x ) дифференцируема в каждой точке из промежутка ( a ; b ) , тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка ( a ; b ) может принимать значения функции f ‘ ( x ) , иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f ‘ ( x ) , которая называется производной функции f ( x ) из интервала ( a ; b ) .
Нахождение производной иначе называют дифференцированием
Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.
Найти производную функции sin ( 2 x ) в точке x 0 = π 6 .
Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что
( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ sin ( 2 x 0 ) ∆ x = lim ∆ x → 0 sin ( 2 ( x 0 + ∆ x ) ) — sin ( 2 x 0 ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin 2 ( x 0 + ∆ x ) — 2 x 0 3 · cos 2 ( x 0 + ∆ x ) + 2 x 0 2 ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x
Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что
( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) · cos ( 2 x 0 + ∆ x ) ∆ x = = 2 · lim ∆ x → 0 sin ( ∆ x ) ∆ x · lim ∆ x → 0 cos ( 2 x 0 + ∆ x ) = = 2 · 1 · cos ( 2 x 0 + 0 ) = 2 cos ( 2 x 0 ) = 2 cos 2 · π 6 = = 2 cos π 3 = 2 · 1 2 = 1
Ответ: ( sin ( 2 x 0 ) ) ‘ = 1 .
Найти производную функции f ( x ) = 3 x 3 — 1 из промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞
Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x 0 = x , где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем
f ‘ ( x ) = 3 x 3 — 1 ‘ = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 3 ( 3 + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ∆ x = » open=» 0 0
Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что
f ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 ) ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 ) ∆ x · ( 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 ) = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — 3 x 3 — 1 2 ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = lim ∆ x → 0 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 — ( 3 x 3 — 1 ) ∆ x · 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = 3 · lim ∆ x → 0 3 x 2 + 3 x ∆ x + ( ∆ x ) 2 3 ( x + ∆ x ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = = 3 · 3 x 2 + 3 x · 0 + ( 0 ) 2 3 ( x + 0 ) 3 — 1 + 3 x 3 — 1 = 9 x 2 2 3 x 3 — 1
Ответ: 3 x 3 — 1 ‘ = 9 x 2 2 3 x 3 — 1 и x ∈ 1 3 3 ; + ∞
Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f ( x ) может не совпадать с областью определения производной этой функции. Предыдущий пример имеет область определения вида D f x : x ∈ [ 1 3 3 ; + ∞ ) , а производная определена на интервале D f x : x ∈ 1 3 3 ; + ∞ . То есть при дифференцировании функция f ‘ ( x ) — это производная заданной функции f ( x ) из промежутка x ∈ D ( f ( x ) ) D ( f ‘ ( x ) ) .
Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.
Правила вычисления производных
- Материалы к уроку
Скачать все правила
Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x :
Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f ( x ) = x 2 + (2 x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.
Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.
Производные элементарных функций
Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.
Итак, производные элементарных функций:
Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
(2 x 3 )’ = 2 · ( x 3 )’ = 2 · 3 x 2 = 6 x 2 .
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f ( x ) и g ( x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, ( f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 2 + sin x; g ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 3.
Функция f ( x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’( x ) = ( x 2 + sin x )’ = ( x 2 )’ + (sin x )’ = 2 x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g ( x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’( x ) = ( x 4 + 2 x 2 − 3)’ = ( x 4 + 2 x 2 + (−3))’ = ( x 4 )’ + (2 x 2 )’ + (−3)’ = 4 x 3 + 4 x + 0 = 4 x · ( x 2 + 1).
Ответ:
f ’( x ) = 2 x + cos x;
g ’( x ) = 4 x · ( x 2 + 1).
Производная произведения
Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:
( f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 3 · cos x; g ( x ) = ( x 2 + 7 x − 7) · e x .
Функция f ( x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’( x ) = ( x 3 · cos x )’ = ( x 3 )’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3 x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )
У функции g ( x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g ( x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’( x ) = (( x 2 + 7 x − 7) · e x )’ = ( x 2 + 7 x − 7)’ · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · ( e x )’ = (2 x + 7) · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7 x −7) = ( x 2 + 9 x ) · e x = x ( x + 9) · e x .
Ответ:
f ’( x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
g ’( x ) = x ( x + 9) · e x .
Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.
Производная частного
Если есть две функции f ( x ) и g ( x ), причем g ( x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h ( x ) = f ( x )/ g ( x ). Для такой функции тоже можно найти производную:
Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.
Задача. Найти производные функций:
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:
Производная сложной функции
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f ( x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f ( x ) = sin ( x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.
Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:
f ’( x ) = f ’( t ) · t ’, если x заменяется на t ( x ).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.
Задача. Найти производные функций: f ( x ) = e 2 x + 3 ; g ( x ) = sin ( x 2 + ln x )
Заметим, что если в функции f ( x ) вместо выражения 2 x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f ( x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2 x + 3 = t , f ( x ) = f ( t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( e t )’ · t ’ = e t · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим:
f ’( x ) = e t · t ’ = e 2 x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2 x + 3 · 2 = 2 · e 2 x + 3
Теперь разберемся с функцией g ( x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:
g ’( x ) = g ’( t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:
g ’( x ) = cos ( x 2 + ln x ) · ( x 2 + ln x )’ = cos ( x 2 + ln x ) · (2 x + 1/ x ).
Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.
Ответ:
f ’( x ) = 2 · e 2 x + 3 ;
g ’( x ) = (2 x + 1/ x ) · cos ( x 2 + ln x ).
Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.
Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:
( x n )’ = n · x n − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.
Задача. Найти производную функции:
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f ( x ) = ( x 2 + 8 x − 7) 0,5 .
Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8 x − 7 = t . Находим производную по формуле:
f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( t 0,5 )’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x 2 + 8 x − 7. Имеем:
f ’( x ) = 0,5 · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 · ( x 2 + 8 x − 7)’ = 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 .
Объясните производную по-человечески, пожалуйста!
Производная — это скорость: движения, старения, глупения, выздоровления, ожирения и т. д.
Начнём с функции. Так:
Функция — это любая зависимость чего-нибудь от чего-нибудь.
Например, вес портфеля зависит от количества учебников в нём.
Тяжесть похмелья по утрам зависит от объёма выпитого.
Количество волос на голове зависит от возраста.
Величина, которая зависит, называется функцией, а то, от чего она зависит, называется аргументом.
Т. е. возраст — аргумент (и довольно часто) , а количество волос на голове — функция.
Любому значению аргумента соответствует своё значение функции — так, например, в 25 лет у человека 100 тысяч волос, а в 55 лет (у того же человека) — их всего 100.
Понятно, что функция (пышность шевелюры) должна как-то изменяться при изменении её аргумента (число подаренных на 23 февраля галстуков, дезодорантов и бритв с носками) .
Волосы у человека выпадают каждый день по десятку штук.
Вот эта скорость изменения функции — минус 10 штук в день — и есть производная.
У разных людей своя собственная функция, заложенная природой, — волосы выпадают по-разному, кто-то лысеет в двадцать, а кто-то не лысеет в семьдесят, поэтому очевидно, что производная зависит от функции — у каждой функции она своя.
В математике значением производной в данной точке считается отношение изменения функции к изменению аргумента. Причём изменения аргумента должно быть как можно меньше (стремиться к нулю) .
Именно это записывается формулой:
Производная тоже может меняться в разных точках.
Например, испугался человек — и быстро облысел, или, наоборот, витаминов налопался — лишние волосы повылазили.
В первом случае производная (одной и той же функции) отрицательная (число волос убывает) и большая (выпало много) , а во втором — положительная (растут новые волосы) и маленькая (выросло мало) .
Поэтому, в принципе, производная — это тоже функция.
Кроме механического смысла (скорость) у производной есть геометрический смысл — касательная к графику функции.
Если мы нарисуем график изменения числа волос у человека во времени, то получим что-то вроде этого (по горизонтальной оси время, по вертикальной — мохнатость) :
Человек родился с каким-то количеством волос, потом они у него растут (производная положительна — количество волос увеличивается) , затем почему-то выпадают (наверное, попал под кислотный дождь) , а потом снова отрастают, а к старости уже выпадают.
Видно, что производная меняется.
Если мы проведём касательную к этому графику в какой-то точке, то получим график производной в этой точке (вернее, получим прямую, тангенс угла наклона которой численно равен значению производной в точке касания). 
Смысл понятия производной в школьном курсе математики
Изучение производной функции в программе средней школы — достаточно сложный процесс, однако усвоение этого материала является очень важным. Ведь понятие производной является фундаментальным для более сложных разделов высшей математики — дифференциального исчисления, математического анализа и других. Поэтому без четкого понимания смысла этого математического термина невозможно дальнейшее освоение школьного курса математики.
Почему учащиеся часто плохо усваивают понятие производной
Сложность подачи информации о производной заключается в том, что это одно из абстрактных понятий, физический смысл которых трудно представить наглядно. Если, например, численные величины, их сумму и произведение, возведение в степень несложно объяснить в понятиях окружающего мира (количество, площадь, объем и т.п.), то смысл производной зачастую ускользает от понимания школьников, поэтому они могут выполнять задачи на ее вычисление чисто механически по затверженным формулам. Это ведет к тому, что в процессе решения учащийся не сможет справиться с заданиями, хоть немного отличающимися от шаблонных, и с такими неравенствами и системами уравнений, где надо применить навыки математического мышления. Педагогам нужно обращать внимание на этот момент и стараться добиться от школьников полного понимания материала.
Производная, как известно, характеризует скорость изменения функции в конкретной точке. Определение этого понятия звучит достаточно сложно: «предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует». Трудность понимания этого определения с точки зрения школьника можно охарактеризовать как «все слова по отдельности понятны, а общий смысл уловить не получается». Разумеется, без подробного и наглядного объяснения ученику останется лишь затучить эту фразу, не понимая ее смысла.
Как же донести до учащихся понятие производной? Это можно сделать, например, простыми примерами из повседневной жизни, а также иллюстрациями физических явлений.
Допустим, два ученика одного класса — назовем их Иванов и Петров — получили за контрольную работу по теме «Системы уравнений и неравенств» по оценке «четыре». При этом Иванов весьма доволен, а Петров опечален. Такое их отношение к оценке станет понятным, если мы будем знать, что Петров — круглый отличник, а Иванов ни разу не получал по математике выше «тройки». То есть, если рассматривать их оценки в динамике, мы видим, что у Иванова наблюдается прирост успеваемости (функция растет, ее производная положительна), а у Петрова, напротив, падение (функция убывает, производная отрицательна). То есть конкретная оценка (точка на графике функции) отображает текущее положение дел, а производная (касательная к графику в этой функции) показывает нам тенденцию развития ситуации.
Аналогично в физике: движение тел характеризуется не только скоростью, но и ускорением, то есть тем, увеличивается или уменьшается ли его скорость. На этих или других подобных примерах можно пояснить, что производная — важнейшая характеристика именно динамики любых процессов, то есть она описывает закон, по которому изменяется мгновенное значение любой функции.
Практическое применение производной как фактор интереса учащихся
С производной учащимся предстоит столкнуться еще много раз, как в курсе математики, так и при изучении других школьных предметов — физики, химии, экономики. В математике производная поможет им решать уравнения, неравенства и системы уравнений, в физике будет использоваться при описании ускоренного движения, в химии — химических процессов. Поэтому необходимо объяснить им фундаментальную важность этого понятия, без четкого понимания которого будет невозможно продвигаться дальше в изучении наук.
Практическое применение производная имеет в самых различных областях деятельности, особенно в технических дисциплинах и экономике — везде, где мы имеем дело с неравномерно протекающими процессами. Это особенно важно знать тем учащимся, которые планируют связать свою дальнейшую жизнь со специальностями из этих областей.
