Elettracompany.com

Компьютерный справочник
4 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Функция solve в matlab

Нейронные сети в matlab

Login

Вы можете решать уравнения, содержащие переменные, с помощью команд
solve и fzero.

Разберем подробнее Matlab решение нелинейных уравнений, к примеру квадратного уравнения х 2 — 2х — 4 = 0, введите следующее:

syms x; solve (‘x^2 — 2*x -4=0’)

Разберем подробнее matlab решение линейных уравнений, к примеру вот такое уравнение х — 4 = 0, введите следующее:

syms x; solve (‘x -4=0’)

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как
строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное
(символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double
(ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve
может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB
потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и
фактически синтаксис решения уравнения х 2 — Зх = -7 будет выглядеть так:

syms x; solve (x^2 — 3*x + 7)

Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2
(сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для
получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы
отобразить больше знаков.
С помощью команды solve можно решать высокоуровневые полиномиальные
(многочленные) уравнения, равно как и многие другие типы уравнений. Можно
также решать уравнения, содержащие более чем одну переменную. Если
уравнений меньше, чем переменных, вам следует определить (как строки), какую
переменную (переменные) требуется вычислить. Например, введите solve ( ‘2*х — log (у) = 1’, ‘у’), чтобы решить уравнение 2х — log у = 1 для
переменной у при условии х. Подобным образом вы можете определить более чем
одно уравнение. Например:

[x, y] = solve (‘x^2 — y = 2’, ‘y — 2*x =5’)

Эта система уравнений имеет два решения. Программа MATLAB выдает решение,
выводя два значения х и два значения у для этих решений. Таким образом,
первое решение состоит из первого значения х и первого значения у. Вы можете
извлечь эти значения, введя в командную строку х (1) и у (1):

Второе решение можно извлечь, введя х (2) и у (2).
Обратите внимание, что в предыдущей команде solve мы назначили вывод в
векторной форме [х, у]. Если вы используете команду solve в системе
уравнений, не задавая вывод в векторной форме, в этом случае программа MATLAB не
отображает автоматически значения решения:

sol = solve (‘x^2 — y = 2’, ‘y — 2*x = 5’)

sol =
х: [2×1 sym]
у: [2×1 sym]

Чтобы увидеть векторы значений х и у, введите sol.x и sol.у. Чтобы увидеть
отдельные значения, введите sol.х (1) и sol.у (1), и т.п.

  • В этом примере вывод результата выполнения команды solve представляет собой структурный массив. Чтобы более подробно познакомиться с этим классом данных

Некоторые уравнения нельзя решить символически, и в таких случаях команда
solve пытается найти числовой ответ. Например:

solve (‘ sin (x) = 2 — x’)

Иногда бывает более одного решения, и вы можете не получить того, что
ожидаете, например:

solve (‘exp (-x) = sin (x) ‘ )

Ответ представляет собой комплексное число. Хотя оно является правильным
решением уравнения, существуют также решения, представленные
вещественными числами. Графики функций ехр (-х) и sin (x) показаны на Рис. 2.3;
каждая точка пересечения двух кривых представляет собой решение уравнения е -х = sin (х).

Вы можете в числовой форме найти (приблизительно) решения, показанные на
графике, с помощью команды fzero, которая ищет нулевое значение данной
функции в пределах заданного значения х. Решение уравнения е -х = sin (x)
равно нулю в функции е -х — sin (x), поэтому, чтобы найти приблизительное
решение при х = 0.5, введите следующее:

h = @(x) exp(-x) — sin(x);
fzero (h, 0.5)

Замените значение 0.5 на 3 и найдите следующее решение, и так далее.

Рис. 2.3. Две пересекающиеся кривые

Поэтому из выше всего сказанного можно сделать вывод, что вам необходимо просмотреть много дополнительной информации и альтернатив!

Функция solve в matlab

предназначена функция fsolve.

Здесь x — вектор и F(x) — функция, которая возвращает значение вектора.

Наиболее полная информация о функции fsolve приведена в справочной системе MATLAB. Здесь приводится только краткое описание.

x = fsolve(fun,x0)
x = fsolve(fun,x0,options)
[x,fval,exitflag] = fsolve(. )
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(. )
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(. )

fsolve находит корни (нули) системы нелинейных уравнений.

Таблица 4-1, Входные аргументы, содержит общее описание аргументов, передаваемых в fsolve. Данный подраздел приводит функционально-специфические детали для fun и options:

Подлежащая решению система уравнений.

fun есть такая функция, которая принимает вектор х и возвращает вектор F, нелинейные уравнения х. Функция fun может задаваться с помощью описателя функций

x = fsolve(@myfun,x0)
где myfun есть такая функция MATLAB, что

function F = myfun(x)
F = . % Расчет значений функции от x
fun так же может быть внутренним объектом.

Если к тому же может быть рассчитан Якобиан и установленная с помощью options = optimset(‘Jacobian’,’on’) опция options.Jacobian равна ‘on’, то функция fun во втором выходном аргументе должна возвращать значение Якобиана J, как матрицы от х.

Опции обеспечивают учет специфических деталей функции виде параметров options.

Таблица ниже содержат общее описание возвращаемых fsolve. аргументов. В этом разделе приводятся общие специфические детали для величин exitflag и output:

Описывает выходные условия.

  • > 0 Данная функция сходится к решению по х.
  • 0 Максимальное число оценки функции или итерации было превышено
  • 0 then W = J*Y.
    If flag < 0 then W = J'*Y.

    Примечание. ‘Jacobian’ должен быть установлен как ‘on’ для того, чтобы передать Jinfo из fun в jmfun.

    fsolve использует Jinfo для расчета предварительных данных.

    В качестве примера смотри Нелинейную Оптимизацию с Компактной, но Структурированной Матрицей Гессе и Ограничениями Типа Равенств.

    Разреженные шаблоны Якобиана для конечного дифференцирования. В случае, если в fun неразумно вычислять матрицу Якобиана J, то lsqnonlin может аппроксимировать J через заданные разреженные конечные разности и структура J — т.е. расположение не нулей – обеспечиваются как значения для JacobPattern. В наихудшем случае, когда эта структура неизвестна, можно установить JacobPattern, что бы плотная матрица и полные конечно-разностные аппроксимации вычислялись на каждой итерации (что принимается по умолчанию в случае неустановки JacobPattern). Это может быть чрезвычайно затратным для больших задач, поэтому обычно заслуживает внимания усилие по определению разреженной структуры.

    Максимальное число PCG (предварительно сопряженный градиент) итераций (Смотри ниже раздел Алгоритм).

    Верхняя полоса предварительной обработки для PCG. По умолчанию используется диагональная начальная подготовка (верхняя полоса из 0). Для некоторых задач увеличение полосы снижает число итераций PCG.

    Читать еще:  Matlab математические функции

    Конечное допустимое число итераций PCG.

    Типичные значения х.

    Medium-Scale Algorithm Only. Эти параметры используются только для средне-масштабного алгоритма.

    Сравнение вводимых пользователем производных (Якобиана) с конечноразностными производными.

    Максимальное изменение в переменных для конечных-разностей.

    Минимальное изменение в переменных для конечных-разностей.

    Выбор алгоритма Левенберга-Макуарда вместо Гаусса-Ньютона.

    Выбор алгоритма линейного поиска.

    Пример 1. В данном примере находятся нули для системы из двух уравнений и двух неизвестных

    Таким образом, необходимо решить следующую систему уравнений от х

    Начнем с точки x0 = [-5 -5].

    Сперва запишем М-файл для расчета F или значений уравнений от х

    function F = myfun(x)
    F = [2*x(1) — x(2) — exp(-x(1));
    -x(1) + 2*x(2) — exp(-x(2))];

    Далее вызовем подпрограмму оптимизации

    x0 = [-5; -5]; % примем начальное приближение за решение
    options=optimset(‘Display’,’iter’); %Опция выходного отображения
    [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) % вызов оптимизатора

    после 28 обращений к функциям нули будут найдены.

    Оптимальность первого порядка

    Оптимизация завершена успешно:

    Относительное изменение значений функции меньше, чем в OPTIONS.TolFun

    fval =
    1.0e-008 *
    -0.5320
    -0.5320

    Оптимизация завершена успешно:

    Пример 2. Найти матрицу x, которая удовлетворяет уравнению

    начнем с точки x= [1,1; 1,1].

    Сперва запишем М-файл, необходимый для расчета решаемых уравнений.

    function F = myfun(x)
    F = x*x*x-[1,2;3,4];

    Далее запустим подпрограмму оптимизации

    x0 = ones(2,2); % примем начальное приближение за решение
    options = optimset(‘Display’,’off’); % Выключим отображение
    [x,Fval,exitflag] = fsolve(@myfun,x0,options)

    x =
    -0.1291 0.8602
    1.2903 1.1612

    Fval =
    1.0e-03 *
    0.1541 -0.1163
    0.0109 -0.0243

    и остаток будет близок к нулю.

    sum(sum(Fval.*Fval))
    ans =
    3.7974e-008

    Данный метод основан на алгоритме метода нелинейных среднеквадратичных отклонений, используемого в lsqnonlin. Достоинство используемого метода среднеквадратичных отклонений состоит в том, что данная система уравнений не равна нулю вследствие малых погрешностей и поэтому алгоритм приходит в точку с малым остатком. Однако, если Якобиан системы является вырожденным, то алгоритм может сходиться в точку, не являющуюся решением системы уравнений (Смотри ниже Ограничения и Диагностика).

    Крупно-масштабная оптимизация. По умолчанию fsolve выберет крупно-масштабный алгоритм. Данный алгоритм является реализацией метода доверительных подпространств и основан на методе внутренних отражений Ньютона, описанного в [1], [2]. Каждая итерация включает в себя приближенное решение крупной линейной системы с помощью метода предварительно сопряженных градиентов(PCG).

    Средне-масштабная оптимизация. fsolve при установке options.LargeScale как ‘off’ использует метод Гаусса-Ньютона [3] с линейным поиском. В качестве альтернативы может быть выбран метод Левенберга-Макуарда [4], [5], [6] с линейным поиском. Выбор алгоритма проводится при помощи установки опции options.LevenbergMarquardt. Установка options.LevenbergMarquardt как ‘on’ (и опции options.LargeScale как ‘off’) выбирается метод Левенберга-Макуарда.

    Принимаемый по умолчанию алгоритм линейного поиска, т.е. опция options.LineSearchType установлена как ‘quadcubic’, обеспечивается методом смешанной квадратичной и кубической полиноминальной интерполяции и экстраполяции. Защищенный кубической полиномиальный метод может быть выбран установкой опции LineSearchType как ‘cubicpoly’. В общем случае, данный метод требует меньшего расчета функций, но большего обращения к расчету градиента. Таким образом, если градиенты приведены и могут быть вычислены без больших затрат, то метод с кубическим полиномиальным линейным поиском является предпочтительным.

    fsolve может сходиться к ненулевой точке и давать следующие сообщения:

    Оптимизатор затормозился в точке, которая не является минимумом.

    Повторите расчет с новой начальной точки.

    В этом случае снова выполните fsolve но с другой начальной точки.

    1. Разрешаемая функция должна быть непрерывной. В случае успеха fsolve дает только один корень. fsolve может сходиться к ненулевой точке, то в этом случае необходимо пытаться стартовать с другой точки.
    2. fsolve оперирует только с реальными переменными. Если х имеет комплексные значения, то эти переменные должны быть разделены на мнимую и реальные части.

    Документация

    linsolve

    Решение систем линейных уравнений

    Синтаксис

    Описание

    X = linsolve( A , B ) решает линейную систему A X = B с помощью одного из этих методов:

    Когда A является квадратным , linsolve LU-факторизация использования с частичным поворотом.

    Для всех других случаев, linsolve QR-факторизация использования с поворотом столбца.

    linsolve предупреждает если A плохо обусловливается (для квадратных матриц) или неполный ранг (для прямоугольных матриц).

    X = linsolve( A , B , opts ) использует соответствующий решатель, как определено структурой опций opts . Поля в opts логические значения, описывающие свойства матричного A . Например, если A верхняя треугольная матрица, можно установить opts.UT = true сделать linsolve используйте решатель, спроектированный для верхних треугольных матриц. linsolve не тестирует, чтобы проверить тот A задали свойства в opts .

    [ X , r ] = linsolve( ___ ) также возвращает r , который является обратной величиной числа обусловленности A (для квадратных матриц) или ранг A (для прямоугольных матриц). Можно использовать любую из комбинаций входных аргументов в предыдущих синтаксисах. С этим синтаксисом, linsolve не предупреждает если A плохо обусловливается или неполный ранг.

    Примеры

    Решение линейной системы

    Решите линейную систему с обоими mldivide и linsolve сравнить производительность.

    mldivide рекомендуемый путь состоит в том, чтобы решить большинство линейных систем уравнений в MATLAB ®. Однако функция выполняет несколько проверок на входной матрице, чтобы определить, имеет ли это какие-либо специальные свойства. Если вы знаете о свойствах матрицы коэффициентов загодя, то можно использовать linsolve избегать длительных проверок на большие матрицы.

    Создайте 10000 10000 матрицу магического квадрата и извлеките нижний треугольный фрагмент. Установите LT поле opts структура к true указать на тот A нижняя треугольная матрица.

    Создайте вектор из единиц для правой стороны линейного уравнения Ax = b . Количество строк в A и b должно быть равным.

    Решите линейную систему Ax = b использование mldivide и время вычисление.

    Теперь решите систему снова с помощью linsolve . Задайте структуру опций так, чтобы linsolve может выбрать соответствующий решатель для нижней треугольной матрицы.

    Сравните времена выполнения, чтобы видеть, как намного более быстрый linsolve . Как с любым сравнением синхронизации, результаты могут варьироваться между различными компьютерами и релизами MATLAB.

    Подавите матричные предупреждения условия

    Решите линейную систему с помощью linsolve с двумя выходными параметрами, чтобы подавить матричные предупреждения создания условий.

    Создайте 20 20 Гильбертову тестовую матрицу. Эта матрица почти сингулярна с самым большим сингулярным значением, являющимся о 2e18 больше, чем самое маленькое.

    Решите линейную систему, включающую A с linsolve . Начиная с A почти сингулярно, linsolve возвращает предупреждение.

    Теперь решите ту же линейную систему, но задайте два выходных параметров к linsolve . MATLAB® подавляет предупреждение и второй выход r содержит взаимное число обусловленности A . Можно использовать этот синтаксис, чтобы обработать плохо обусловленные матрицы с особыми случаями в коде без кода, производящего предупреждение.

    Входные параметры

    A — Матрица коэффициентов
    матрица

    Матрица коэффициентов. A появляется в системе линейных уравнений слева как A X = B . Количество строк в A должен равняться количеству строк в B .

    Читать еще:  Hash hmac php

    A не может быть разреженным. Чтобы решить линейную систему, включающую разреженную матрицу, используйте mldivide или decomposition вместо этого.

    Типы данных: single | double
    Поддержка комплексного числа: Да

    B — Входной массив
    вектор | матрица

    Входной массив, заданный как вектор или матрица. B появляется в системе линейных уравнений справа как A X = B . Если B матрица, затем каждый столбец в матрице представляет различный вектор для правой стороны.

    Количество строк в A должен равняться количеству строк в B .

    Типы данных: single | double
    Поддержка комплексного числа: Да

    opts — Свойства матрицы коэффициентов
    структура

    Свойства матрицы коэффициентов, заданные как структура. Используйте эту структуру, чтобы задать свойства A тот linsolve использование, чтобы выбрать соответствующий решатель для линейной системы. Поля в структуре содержат true ложь значения, чтобы указать, ли A имеет каждое свойство. По умолчанию все поля в структуре приняты, чтобы быть false . Эта таблица приводит возможные поля в opts и их соответствующие матричные свойства.

    Нижняя треугольная (ненулевые значения, появляющиеся только на или ниже основной диагонали)

    Верхняя треугольная (ненулевые значения, появляющиеся только на или выше основной диагонали)

    Верхний Hessenberg (все нулевые значения ниже первой поддиагонали)

    Реальные симметричные или комплексные эрмитовы (матрица равняются транспонировать),

    Положительный определенный (все положительные собственные значения)

    Прямоугольная матрица (различное количество строк и столбцов)

    Сопряженное транспонирование — Задает, решает ли функция A*X = B (когда opts.TRANSA = false ) или транспонированная проблема A’*X = B (когда opts.TRANSA = true )

    Пример: opts.UT = true задает тот A верхний треугольный.

    Пример: opts.SYM = true, opts.POSDEF = true наборы два поля, чтобы задать тот A симметрично и положительный определенный.

    Допустимые комбинации

    Строки этой таблицы перечисляют все комбинации значений полей в opts это допустимо для linsolve . Пустые ячейки являются значением по умолчанию false , и true ложь запись указывает на тот linsolve принимает любое значение.

    A является нижним треугольным

    A верхний треугольный

    A верхний Hessenberg

    A является прямоугольным

    Примечания по использованию

    Если A имеет свойства в opts , затем linsolve быстрее по сравнению с mldivide , потому что linsolve сразу вызывает соответствующий решатель и не выполняет тестов, чтобы проверить тот A имеет заданные свойства.

    Если A не имеет свойств, которые вы задаете в opts , затем linsolve возвращает неправильные результаты и не возвращает сообщение об ошибке. Поэтому, если вы не уверены ли A имеет заданные свойства, используйте mldivide или decomposition вместо этого.

    Типы данных: struct

    Выходные аргументы

    X — Решение для линейной системы
    вектор | матрица

    Решение для линейной системы, возвращенное как вектор или матрица, которая удовлетворяет A X = B (или A T X = B , если opts.TRANSA = true ). Размер X зависит от ли opts.TRANSA = true :

    Если A m — n и B m — k , затем X n — k и решение A X = B .

    Если opts.TRANSA = true , затем A m — n и B n — k . В этом случае, X m — k и решение A T X = B .

    r — Взаимное число обусловленности или ранг
    скаляр

    Взаимное число обусловленности или ранг, возвращенный как скаляр.

    Если A квадратная матрица, затем r взаимное число обусловленности A .

    Если A прямоугольная матрица, затем r ранг A .

    Если opts задан, затем r обратная величина числа обусловленности A если RECT true и оба LT и UT false , в этом случае, r дает ранг A .

    Советы

    Преимущество скорости linsolve может варьироваться в зависимости от матричной структуры и относительной оптимизации базовых алгоритмов. В некоторых случаях (такой как с маленькими матрицами) не может быть никакого ускорения по сравнению с mldivide . Преимущество скорости с linsolve возникает путем предотвращения дорогостоящих проверок на свойствах больших матриц, или путем выбора алгоритма, который лучше подходит для входа, чем выбор что mldivide делает.

    Расширенные возможности

    Генерация кода C/C++
    Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

    Указания и ограничения по применению:

    opts структура должна быть постоянным скаляром. Генерация кода не поддерживает массивы структур опций.

    Генерация кода только оптимизирует эти случаи:

    UHESS = true ( TRANSA может быть любой true или false )

    SYM = true и POSDEF = true

    Другие опции эквивалентны использованию mldivide .

    Генерация кода не поддерживает входные параметры разреженной матрицы для этой функции.

    Генерация кода графического процессора
    Сгенерируйте код CUDA® для NVIDIA® графические процессоры с помощью GPU Coder™.

    Указания и ограничения по применению:

    opts структура должна быть постоянным скаляром. Генерация кода не поддерживает массивы структур опций.

    Генерация кода только оптимизирует эти случаи:

    UHESS = true ( TRANSA может быть любой true или false )

    SYM = true и POSDEF = true

    Другие опции эквивалентны использованию mldivide .

    Генерация кода не поддерживает входные параметры разреженной матрицы для этой функции.

    Смотрите также

    Представлено до R2006a

    Открытый пример

    У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?

    Документация MATLAB
    Поддержка

    © 1994-2020 The MathWorks, Inc.

    1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

    2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

    3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.

    4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

    5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

    Иллюстрированный самоучитель по MatLab

    Вычисление нулей функции одной переменной

    Ряд функций системы MATLAB предназначен для работы с функциями. По аналогии с дескрипторами графических объектов могут использоваться объекты класса дескрипторов функций, задаваемых с помощью символа @, например:

    Примечание
    Подфункциями понимаются как встроенные функции, например sin(x) или ехр(х),так и функции пользователя, например f(x), задаваемые как т-файлы-функции
    .

    Численные значения таких функций, заданных дескрипторами, вычисляются с помощью функции feval:

    Для совместимости с прежними версиями можно записывать функции в символьном виде в апострофах, использование функции eval для их вычисления может быть более наглядно, не нужно создавать m-файл, но в учебном курсе мы будем стараться использовать новую нотацию, с использованием дескрипторов функций и feval, так как при этом программирование становится «более объектно-ориентированным», повышается скорость, точность и надежность численных методов. Поэтому, хотя везде в нижеследующем тексте вместо @fun можно подставить и символьное значение функции в апострофах, мы будем использовать нотацию @fun в дидактических целях. Все же иногда в интерактивном режиме можно использовать старую запись, чтобы не создавать m-файл функции.

    Читать еще:  Направления защиты информации

    Довольно часто возникает задача решения нелинейного уравнения вида f(x) = 0 или /, (г) =/ 2 (дг). Последнее, однако, можно свести к виду f(x) =f 1 (х) – f 2 (х) = 0. Таким образом, данная задача сводится к нахождению значений аргумента х функции f(x) одной переменной, при котором значение функции равно нулю. Соответствующая функция MATLAB, решающая данную задачу, приведена ниже:

    • fzero(@fun,x) – возвращает уточненное значение х, при котором достигается нуль функции fun, представленной в символьном виде, при начальном значении аргумента х. Возвращенное значение близко к точке, где функция меняет знак, или равно NaN, если такая точка не найдена;
    • fzero(@fun,[x1 x2]) – возвращает значение х, при котором fun(x)=0 с заданием интервала поиска с помощью вектора x=[xl х2], такого, что знак fun(x(D) отличается от знака fun(x(2)). Если это не так, выдается сообщение об ошибке. Вызов функции fzero с интервалом гарантирует, что fzero возвратит значение, близкое к точке, где fun изменяет знак;
    • fzero(@fun,x.tol) – возвращает результат с заданной погрешностью tol;
    • fzero(@fun,x.tol.trace) – выдает на экран информацию о каждой итерации;
    • fzero(@fun,х.tol.trace,Р1.Р2,…) – предусматривает дополнительные аргументы, передаваемые в функцию fun(x.Pl,P2,…). При задании пустой матрицы для tol или trace используются значения по умолчанию. Пример:

    Для функции fzero ноль рассматривается как точка, где график функции fun пересекает ось х, а не касается ее. В зависимости от формы задания функции fzero реализуются следующие хорошо известные численные методы поиска нуля функции: деления отрезка пополам, секущей и обратной квадратичной интерполяции. Приведенный ниже пример показывает приближенное вычисление р/2 из решения уравнения cos(x)=0 с представлением косинуса дескриптором:

    В более сложных случаях настоятельно рекомендуется строить график функции f(x) для приближенного определения корней и интервалов, в пределах которых они находятся. Ниже дан пример такого рода (следующий листинг представляет собой содержимое m-файла fun1.m):

    Из рисунка нетрудно заметить, что значения корней заключены в интервалах [0.5 1], [2 3] и [5 6]. Найдем их, используя функцию fzero:

    Обратите внимание на то, что корень х3 найден двумя способами и что его значения в третьем знаке после десятичной точки отличаются в пределах заданной погрешности tol =0.001. К сожалению, сразу найти все корни функция fzero не в состоянии. Решим эту же систему при помощи функции fsolve из пакета Optimization Toolbox, которая решает систему нелинейных уравнений вида f(x)=0 методом наименьших квадратов, ищет не только точки пересечения, но и точки касания, fsolve имеет почти те же параметры (дополнительный параметр – задание якобиана) и почти ту же запись, что и функция lsqnonneg, подробно рассмотренная ранее. Пример:

    Для решения систем нелинейных уравнений следует также использовать функцию solve из пакета Symbolic Math Toolbox. Эта функция способна выдавать результат в символьной форме, а если такого нет, то она позволяет получить решение в численном виде. Пример:

    [Пакеты расширения Symbolic Math ToolBox и Extended Symbolic Math Toolbox MATLAB 6.0 используют ядро Maple V Release 5 [30-35] и являются поэтому исключением: они пока не поддерживают новую нотацию с использованием дескрипторов функций. – Примеч. ред.]

    Технология решения нелинейных уравнений в среде MatLab

    В математическом пакете MatLab имеются как программные средства для реализации алгоритмов уточнения корней уравнений, приведенных в п.6.2.2, так и встроенные функции для численного и аналитического вычисления корней уравнений.

    Рассмотрим программные средства MatLabна примерах.

    Пример 6.2.4-10. Локализовать корни уравнения f(x)=x 3 –cos(x)+1 средствами пакета MatLab.

    Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде MatLAB проще реализовать с помощью встроенных функций: solve(), fzero(), roors().

    Для нахождения вещественных корней уравнений вида f(х)=0 используется функция fzero(). Алго­ритм, реализованный этой функцией, представляет собой комбинацию хорошо известного метода дихотомии (деления пополам), метода секущих и метода обрат­ной квадратичной интерполяции. В простейшем варианте обращения кроме указателя на функцию, корень которой ищется, задается окрестность х0, с которой начинается поиск: х = fzero(f, x0).

    Аргументf может быть задан одним из способов:

    · как формула с неизвестным х, заключенная в апострофы;

    · как имя m-файла (в апострофах и без расширения m);

    · как указатель на функцию (например, @f_name);

    · как указатель на анонимную функцию (например, f_handie).

    Необходимо обратить внимание на то, что формула, заключенная в апострофы, в качестве независимой переменной мо­жет содержать только х. Использование независимой переменной с другим именем вызовет сообщение об ошибке.

    Аргумент х0 может быть задан одним из двух способов:

    · как вектор [a;b], представляющий интервал (а — x + sin(x) для локализации корня.

    Из графика видно, что один из корней находится на интервале [3;4]. И этой информацией естественно воспользоваться при обращении к функ­ции fzero( ):

    Вместо явного задания формулы для функции f мы могли бы объявить соответствующую функцию, запомнив ее в виде автономного m-файла или включив ее в качестве подфункции в файл нашей программы.

    Если мы хотим получить не только значение корня, но и узнать значение функции в найденной точке, то к функции fzero( ) можно обратиться с двумя выходными параметрами.

    В ряде задач такая точность может оказаться излишней. MatLab предо­ставляет пользователю возможность формировать различные условия прекращения итерационного процесса — по точности вычисления координаты х, по модулю значения функции f(), по количеству обращений к функции f( ) и т. д.

    В некоторых случаях применение функции fzero() может дать парадоксаль­ные результаты.

    Пример 6.2.4-12. Найти решения tg(x) = 0 на интервале [1;2].

    Якобы «корень», соответствующий приближенному значению /2, на самом деле является точкой разрыва, при переходе через которую функция меняет знак. Выведенное значение функции в найденной точке убеждает нас в том, что найден не корень.

    Функцияfzero() может возвратить еще два выходных параметра.

    Положительное значение e_fiag (обычно, это 1) означает, что удалось най­ти интервал, на концах которого функция f( ) меняет знак (пример с tg(x) не должен притупить вашу бдительность). Если такой интервал не обнару­жен, то e_fiag=-1. Структура inform содержит три поля с именами iterations, funcCount и algorithm. В первом из них находится количество итераций, выполненных при поиске корня, во втором – количество обра­щений к функции f( ), в третьем – наименование алгоритма, использован­ного для нахождения корня.

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector