Критерий михайлова matlab

Анализ устойчивости САР по расположению корневых точек и критерию Михайлова в среде MATLAB (Лабораторная работа № 5)

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования и науки

Московский государственный университет леса

Кафедра УАП ЛПК

Лабораторная работа №5 по ТАУ:

Анализ устойчивости САР по расположению корневых точек и критерию Михайлова в среде MATLAB

Выполнил: студент группы АП-31

Проверил: Дорошенко В. А.

1. Исходные данные.

2. Определение устойчивости САР по расположению корневых точек на корневой плоскости.

3. Определение устойчивости САР по критерию Михайлова.

1. Структурная схема системы регулирования:

2. Передаточные функции системы регулирования:

W₁(P)=

W₇(P)=

Время переходного процесса 2с.

3. Передаточная функция замкнутой системы регулирования без корректирующего звена:

Wz=

4. Передаточная функция корректирующего звена:

W=

5. Передаточная функция замкнутого звена с учетом корректирующего звена:

Wz=

2. Определение устойчивости САР по расположению корневых точек на корневой плоскости.

2.1. Определение устойчивости САР без корректирующего звена.

2.1.1. Определение корней характеристического полинома.

Wz=

P=

>> P=[0.01008 0.1504 0.7 31]

0.0101 0.1504 0.7000 31.0000

2.1.2 График распределения корней:

>> sys1=tf([0.01008 0.1504 0.7 31],[0 1])

0.01008 s^3 + 0.1504 s^2 + 0.7 s + 31

2.1.3 График непрерывной временной характеристики САР.

Система неустойчива, т.к. не все корни на корневой плоскости расположены слева от мнимой оси.

2.2. Определение устойчивости САР с корректирующим звеном.

2.2.1. Определение корней характеристического полинома.

Wz=

P=

>> P=[0.000504 0.01236 0.1072 0.536 0.78]

0.0005 0.0124 0.1072 0.5360 0.7800

2.2.2. График распределения корней.

>> sys2=tf([0.000504 0.01236 0.1072 0.536 0.78],[0 1])

0.000504 s^4 + 0.01236 s^3 + 0.1072 s^2 + 0.536 s + 0.78

2.2.2. График непрерывной временной характеристики САР с корректирующим звеном.

Система устойчива, т.к. все корни на корневой плоскости расположены слева от мнимой оси.

2.3. Определение устойчивости САР по полиному без свободного члена.

2.3.1. Определение корней характеристического полинома.

Wz=

P=

>> P=[0.000504 0.01236 0.1072 0.536 0]

0.0005 0.0124 0.1072 0.5360 0

2.3.2. График распределения корней.

>> sys3=tf([0.000504 0.01236 0.1072 0.536 0],[0 1])

0.000504 s^4 + 0.01236 s^3 + 0.1072 s^2 + 0.536 s

2.3.3. График непрерывной временной характеристики.

Система находиться на грани устойчивости, т.к. один корень находиться в начале координат.

3. Определение устойчивости по критерию Михайлова.

3.1. Определение устойчивости по критерию Михайлова без корректирующего звена.

3.1.1Построение гадографа Михайлова.

Wz=

D=

D=

Re=

Im=

num=[0.01008 0.1504 0.7 31];

3.1.2 Построение временных переходных характеристик.

Непрерывная временная характеристика.

Импульсная переходная характеристика.

Система неустойчива, т.к. график не проходит последовательно 3 квадранта.

3.2. Определение устойчивости по критерию Михайлова с учетом корректирующего звена.

3.2.1 Построение гадографа Михайлова

Wz=

D=

D=

Re=

Im=

>> num=[0.000504 0.01236 0.1072 0.536 0.78];

3.2.2. Построение временной переходной характеристики.

Непрерывная временная характеристика.

Импульсная временная характеристика.

Система устойчива, т.к. график вращается против часовой стрелки, проходит последовательно 4 квадранта и не пересекает начало координат.

3.3 Определение устойчивости без свободного члена характеристического полинома.

3.3.1 Построение гадографа Михайлова.

Wz=

D=

D=

Re=

Im=

>> num=[0.000504 0.01236 0.1072 0.536 0];

3.3.2 Построение временных переходных характеристик.

Непрерывная временная характеристика.

Импульсная переходная характеристика.

Система находиться на грани устойчивости, т.к. график проходит через начало координат, пересекает последовательно 4 квадранта и проходит против часовой стрелки.

Исследование устойчивости, используя критерий Михайлова

Использование пакета MatLab

Исследование устойчивости, используя критерий Гурвица

Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу записывается матрица Гурвица и находится ее детерминант (функция det). Затем последовательно уменьшаются размеры матрицы и находятся значение всех диагональных детерминантов.

В программе MatLab запись матрицы производится, следующим образом:

название 1-ой матрицы = [коэффициенты первой строки; коэффициенты второй строки; коэффициенты третьей строки]

название 1-ой матрицы может быть любое, но должно состоять из латинский букв и цифр. Коэффициенты матрицы вводятся через пробел а, следующая строка отделяется через “;”. Количество строк зависит от порядка САУ и соответственно от размеров матрицы.

Для подсчета главного детерминанта используется команда det запись которой производится:

Det (название 1-ой матрицы)

Запись уменьшения матрицы:

Название 2-ой матрицы = название 1-ой матрицы (1:2, 1:2)

Такая запись позволяет уменьшить матрицу до нужных размеров.

Схема, описания уменьшения матрицы

Определение запасов устойчивости

Используя ЛАЧХ И ЛФЧХ можно определить запасы устойчивости по фазе и амплитуде с помощью команды margin (название системы).

Исследование устойчивости, используя критерий Михайлова

Для проверки устойчивости, используя критерий Михайлова в программе MatLab необходимо задать описание системы в виде характеристического полинома с помощью функции tf в командном окне программы (Command Window).

Команда tfзаписывается следующим образом:

Mihp = tf ([коэффициенты характеристического полинома ],[1])

Коэффициенты характеристического полинома вводятся через пробел, соблюдая знаки.

. При построении годографа Михайлова все предыдущие графики должны быть закрыты.

После описания системы можно строить годограф Михайлова, для этого необходимо ввести в командное окно следующую последовательность команд:

axis ([x1 x2 y1 y2]);

line([x1 x2],[0 0],’Color’,’k’);line([0 0],[y1 y2],’Color’,’k’)

Примечание: для ввода нескольких команд одновременно будем использовать комбинацию “Shift+Enter” после каждой строки. Клавишу Enter нажимаем только после ввода последней строки.

Для построения другого годографа необходимо закрыть окно и повторить процедуру заново. Если необходимо сравнить два и более годографа необходимо оставить окно с годографом открытым и выполняются по новому запись характеристического полинома с помощью функции tf, затем записывается та же последовательности команд, только в строке: line([x1 x2],[0 0],’Color’,’k’);line([0 0],[y1 y2],’Color’,’k’) указывается цвет.

Примечание: цвета нужно задавать различные, но не одинаковые. Для первой системы цвет указывать не нужно. Ниже приведена таблица буквенных обозначений цветов:

Исследование устойчивости САУ в среде пакета MATLAB-Simulink.

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ » ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ «

ТЕМА » ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ САУ»

Специальность — 140604 » Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»

Студент гр. 3ЭП-31 Бида Петр Ильич

фамилия, имя, отчество

Дата_____________ Подпись студента_________________

Допустить к защите:________________( Н.В.Кочнев)

Защита работы состоится ______

Дата защиты ________ Оценка _______________

Исходные данные. 3

Исследование устойчивости САУ в среде пакета Mathcad. 3

Исследование устойчивости САУ в среде пакета MATLAB-Simulink. 9

Анализ результатов. 18

Введение

Целью данной курсовой работы является исследование устойчивости линейной САУ различными методами анализа (частотными и алгебраическими) с применением двух программных пакетов Mathcad и Matlab-Simulink. На основе произведенных исследований сделать выводы об устойчивости системы и о совпадении результатов, полученных в обоих программных продуктах.

Вариант 2:

Коэффициенты усиления: К1 = 10, К2 = 5, К3 = 4

Постоянные времени (с): Т1 = 0,5; Т2 = 0,25; Т3 = 0,1; Т4 = 0,05

Исследование устойчивости САУ в среде пакета Mathcad.

Найдём передаточную функцию системы

Элементы W1 и W2 имеют обратную связь. Их передаточная функция запишется в виде:

Элементы W12 и W3 соединены последовательно.Их передаточная функция запишется в виде:

Далее элементы W1 и W2 соединены параллельно. Их передаточная функция запишется в виде:

Элементы W123 и W4 имеют обратную связь. Их передаточная функция запишется в виде:

Упростим данную функцию в системе Mathcad, и, подставим численные значения:

Заменим оператор p(S) на iw:

АФЧХ (годограф) передаточной функции будет иметь вид:

Логарифмическая характеристика строится на основе формулы:

Частота изменяется в пределах:

Фазовая характеристика строится на основе формулы:

Исследуем устойчивость системы с помощью критерия Михайлова.

По критерию Михайлова система устойчива, если годограф, начинаясь при ω=0 на положительной действительной полуоси, огибает с ростом частоты от 0 до против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно в положительном направлении n квадрантов.

По виду годографа можно сказать, что система неустойчива.

Исследуем устойчивость системы с помощью критерия Гурвица.

По этому критерию система является устойчивой, если все определители матрицы Гурвица положительны.

В нашем же случае все определители отрицательны, отсюда вывод – система неустойчива.

Исследование устойчивости САУ в среде пакета MATLAB-Simulink.

Структурная схема САУ имеет вид:

Ниже представлен график переходного процесса.

По колебаниям графика годографа видно, что с ростом времени колебания увеличиваются – система неустойчива.

Скрипт для исследования устойчивости САУ в среде пакета Matlab-Simulink

W3=tf([K3*T3 K3*1],[T4 1]);

Изменяя step(W7) на impulse, nyquist, bode получали различные графики с осциллографов.

STEP — график переходного процесса (зависимость амплитуды сигнала от времени):

По виду годографа можно заключить, что система неустойчива, так как он охватывает точку (-1;j0).

Ниже представлены ЛАЧХ и ФЧХ, BODE:

Нахождение корней характеристического полинома (знаменатель) и полинома в числителе с помощью Mathlab, команды pole и zero.

-6.8851 +55.6653i
-6.8851 -55.6653i
-20.0000
-1.0000 + 9.9499i
-1.0000 — 9.9499i
-9.8713
2.3648
-2.7234
-2.0000
-2.0000 + 0.0000i
-2.0000 — 0.0000i

0
-20.0000
9.0499
-1.0000 + 9.9499i
-1.0000 — 9.9499i
-11.0499
-10.0000
-2.0000
-2.0000 + 0.0000i
-2.0000 — 0.0000i

Среди полученных корней некоторые имеют положительную вещественную часть, что говорит о неустойчивости системы.

Анализ результатов.

В ходе работы было проведено исследование САУ различными методами в различных программных пакетах.

В ходе исследования в пакете Mathcad неустойчивость системы показали все 3 критерия: критерий Михайлова, Гурвица, Найквиста.

В пакете MatLab также все исследования показали неустойчивость системы: по критерию Найквиста САУ неустойчива, осциллограф колебаний системы говорит о том же, да и корневой метод даёт неустойчивость (среди 16 корней все корни 2 корня неустойчивы).

На основе проведённых исследований можно сделать вывод о том, что система неустойчива. Повысить устойчивость САУ можно эффективным средством стабилизации неустойчивого объекта — охватом его отрицательной обратной связью и использование регуляторов с передаточными функциями, содержащими форсирующие множители. Передаточные функции ПИ-, ПИД- и ПД-регуляторов, а также инерционно-форсирующие звенья содержат форсирующие множители, обеспечивающие стабилизацию.

Заключение.

В данной работе был проведён анализ устойчивости линейной САУ. Использовались математические пакеты MathCad и Matlab-Simulink. Методы корневого годографа, Гурвица, Михайлова, частотных характеристик показали, что система неустойчива. Различие некоторых графиков математических пакетов MathCad и Matlab-Simulink можно объяснить допущенными упрощениями, которые мы выполняли в ходе работы.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. — Профессия – 2003 – 752с.

2. Теория управления — 1 — Теория линейных САУ — УП — Туманов — 2005 – 82.

Исследование устойчивости системы с помощью критерия Михайлова

Содержание

курсовой работы по дисциплине » Теория автоматического управления»,

тема «Исследование линейных САУ»,

специальность 140604, группа ЭП-31

4) Структурные преобразования………………………………. …………4

5) Исследование устойчивости САУ в среде пакета Mathcad…………..5

6) Исследование устойчивости САУ в среде пакета MATLAB-Simulin.10

Введение.

Целью данной курсовой работы является исследование на устойчивость линейной САУ (системы автоматического управления). Анализ проводить различными методами: алгебраическими и частотными. При исследовании использовать два программных пакета Mathcad 14.0 и Matlab 6.5 с встроенным пакетом Simulink. На основе полученных данных сделать выводы о устойчивости системы линейной САУ и о том какие результаты выдали разные программные пакеты (совпали ли они).

Исходные данные.

Значения передаточных функций звеньев:

Значения коэффициентов усиления:

, , , .

Значения постоянных времени(с):

, , , ,

Структурные преобразования.

Эти преобразования нужны для упрощения исходной схемы и получения одной передаточной функции.

Подставим все имеющиеся числовые данные в формулы передаточных звеньев:

; ; ;

Звено соединено последовательно со звеном . Их общая передаточная функция находится перемножением: .

Звено параллельно звену по положительной связи. Их общая передаточная функция находится сложением: .

Звено соединено последовательно со звеном . Их общая передаточная функция находиться перемножением: .

Звено имеет отрицательную обратную связь. Общая передаточная функция всей системы имеет вид:

Исследование устойчивости линейной САУ в среде пакета Mathcad.

Найдем передаточную функцию системы используя структурные преобразования.

1) Первое преобразование:

2) Второе преобразование:

3) Третье преобразование:

4) Четвертое преобразование:

Получим основные характеристики исследуемой передаточной функции.

1) Заменим оператор s на jω и распишем функцию в виде коэффициентов b(ω), c(ω), d(ω), f(ω).

Теперь составим функции U(ω) и V(ω) по следующим формулам:

2) АФЧХ (разворот годографа) будет иметь вид:

3) АЧХ имеет вид:

4) ФЧХ имеет вид:

Т.к. ФЧХ имеет скачкообразный вид, вводим специальные уравнения сглаживающие эти скачки:

5) Логарифмическая характеристика имеет вид:

Найдем корни характеристического уравнения передаточной функции:

Отметим данные корни на комплексной плоскости:

Из графика видно, что система находится на границе устойчивости (имеются корни на Re(z)=0).

Исследование устойчивости системы с помощью критерия Михайлова.

На основе этого критерия система является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до ∞ годограф характеристического вектора (кривая Михайлова) начинается на положительной части вещественной оси и последовательно обходит в положительном направлении n-квадрантов.

Знаменатель передаточной функции имеет вид:

Выделим действительную и мнимую часть:

Построим годограф по ним при изменении ω от 0 до 1:

Полученный график говорит об неустойчивости системы.

4.4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Исходным материалом для применения критерия Михайлова является также характеристический полином САУ А(р).

Если в А( р) заменить оператор р на переменную ^’со, то получится функция комплексного переменного

где X (со) — вещественная часть, полученная из членов А(р), содержащих четные степени р; У (со) — мнимая часть, полученная из членов А( р) с нечетными степенями р.

При изменении частоты со от нуля до бесконечности на комплексной плоскости получится кривая, которую описывает радиус-вектор функции А(^усо). Эту кривую называют годографом Михайлова (рис. 4.6). Каждому значению со соответствуют определенные значения X (со) и У (со), т. е. определенная точка

на плоскости. При со=0 функция А(усо) = ао> т. е. годограф начинается на вещественной оси. При со—функция А(]со) тоже неограниченно возрастает по модулю.

Формулировка критерия Михайлова звучит следующим образом: система устойчива, если годограф А(]со), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно п квадрантов комплексной плоскости, где п — порядок системы.

Годограф устойчивой САУ четвертого порядка изображен на рис. 4.6а. При нарушении порядка прохождения квадрантов комплексной плоскости САУ неустойчива (рис. 4.66). Если же система находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова проходит через начало координат на частоте со_к (рис. 4.6«), т. е. на границе устойчивости

Рис. 4.6. Годограф Михайлова для устойчивой [а), неустойчивой [б) САУ и САУ на границе устойчивости (я)

Следует отметить то обстоятельство, что расчетные выражения для граничных параметров, полученные по критериям Гурвица и Михайлова, совпадают. Продемонстрируем это для САУ третьего порядка, характеристический полином для которой имеет вид . Тогда в соответствии с (4.3) на границе устойчивости получим

Выразим из первого уравнения квадрат частоты со;? и подставим результат во второе уравнение, не учитывая тривиальное решение со_к = 0:

или что совпадает с формулой (4.1).

Физический смысл величины со=со_к — это частота колебаний системы на границе устойчивости.

Годограф Михайлова можно строить по точкам, изменяя частоту от нуля до бесконечности с определенным шагом и вычисляя каждый раз значение А^со). Можно поступить по- другому: найти точки пересечения годографа с осями и соединить их плавной линией. Для этого, определив из уравнения X (со) = 0 значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа А (^со) с мнимой осью, подставляют их в выражение У (со). В результате получают соответствующие координаты. Аналогично находят точки пресечения А(со) с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть У (со).

Из формулировки критерия следует, что система устойчива, если нули X (со) и У (со) чередуются с ростом со, начиная с со = 0, когда У (со) = 0, а X (со) > 0.

По критерию Михайлова оценить устойчивость САУ, приведенной на рис. 4.5.

В соответствии с рассмотренным выше для этой системы

где

Проведем в характеристическом полиноме А(р) замену оператора р на переменную jto и произведем разделение действительной и мнимой частей. Тогда получим

Приравняем мнимую часть У(са) к нулю и определим частоты too, 0)2:

Теперь к нулю приравняем действительную часть X (со) и определим частоту coi:

Поскольку со₀ разбиений.

Система уравнений (4.4) может быть линейной и нелинейной, и способ ее разрешения относительно параметров Х1 и Хг может быть различным. Поэтому рассмотрим применение Б-разбиений на конкретных примерах.

Применяя Б-разбиения, построить область устойчивости для САУ, структурная схема которой приведена на рис. 4.7, для которой /(1=10, к₂=2, /сз = 4с -1 , 1(00=0,5, 71=0,5 с, Г₂=0,1с, XI = 0,05 с, х₃ =0,01 с.

Рис. 4.7. Пример проведения П-разбиений

Передаточная функция разомкнутой цепи и характеристический полином САУ будут иметь вид

где

Вариант 1. Проведение 0-разбиений в плоскости параметров XI — Т, Х2 =Кр. Тогда

и систему уравнений (4.4) можно представить в виде

Упорядочив систему уравнений (4.5) относительно варьируемых параметров, перенеся свободные члены в правые части и исключив из второго уравнения тривиальное решение (0=0, получим

Система уравнений (4.6) является линейной относительно варьируемых параметров XI и Х2, поэтому для ее решения можно воспользоваться методами линейной алгебры, например формулой

где — вектор решений системы (4.6);

— обращенная матрица системы (4.6);

— вектор правых частей уравнений системы

Эту систему можно также решить через определители, определив неизвестные как

где — определители системы (4.6), причем

Таким образом, решая систему (4.6) каким-либо способом, получим

Легко видеть, что для заданных значений постоянных времени при критических частотах со_кр1 = 0 и

= 28,284 с -1 знаменатели формул для хДсо) и х₂ (со) обращаются в нуль, поэтому этих частот нужно избегать при построении области устойчивости САУ.

В табл. 4.1 приведены рассчитанные значения варьируемых параметров Хх(со) и Х2(со) при изменении частоты от 7 до 21 с -1 , а на рис. 4.8 показана область устойчивости САУ, построенная по табличным данным.