Elettracompany.com

Компьютерный справочник
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Пирамидальная сортировка matlab

Пирамидальная сортировка matlab

Итак, мы постепенно переходим от более-менее простых к сложным, но эффективным методам. Пирамидальная сортировка является первым из рассматриваемых методов, быстродействие которых оценивается как O(n log n).

В качестве некоторой прелюдии к основному методу, рассмотрим перевернутую сортировку выбором. Во время прохода, вместо вставки наименьшего элемента в левый конец массива, будем выбирать наибольший элемент, а готовую последовательность строить в правом конце.

Пример действий для массива a[0]. a[7]:

Вертикальной чертой отмечена левая граница уже отсортированной(правой) части массива.

Рассмотрим оценку количества операций подробнее.
Всего выполняется n шагов, каждый из которых состоит в выборе наибольшего элемента из последовательности a[0]..a[i] и последующем обмене. Выбор происходит последовательным перебором элементов последовательности, поэтому необходимое на него время: O(n). Итак, n шагов по O(n) каждый — это O(n 2 ).

Произведем усовершенствование: построим структуру данных, позволяющую выбирать максимальный элемент последовательности не за O(n), а за O(logn) времени. Тогда общее быстродействие сортировки будет n*O(logn) = O(n log n).

Эта структура также должна позволять быстро вставлять новые элементы (чтобы быстро ее построить из исходного массива) и удалять максимальный элемент (он будет помещаться в уже отсортированную часть массива — его правый конец).

Итак, назовем пирамидой(Heap) бинарное дерево высоты k, в котором

  • все узлы имеют глубину k или k-1 — дерево сбалансированное.
  • при этом уровень k-1 полностью заполнен, а уровень k заполнен слева направо, т.е форма пирамиды имеет приблизительно такой вид:
  • выполняется «свойство пирамиды»: каждый элемент меньше, либо равен родителю.

Как хранить пирамиду? Наименее хлопотно — поместить ее в массив.

Соответствие между геометрической структурой пирамиды как дерева и массивом устанавливается по следующей схеме:

  • в a[0] хранится корень дерева
  • левый и правый сыновья элемента a[i] хранятся, соответственнно, в a[2i+1] и a[2i+2]

Таким образом, для массива, хранящего в себе пирамиду, выполняется следующее характеристическое свойство: a[i] >= a[2i+1] и a[i] >= a[2i+2].

Плюсы такого хранения пирамиды очевидны:

  • никаких дополнительных переменных, нужно лишь понимать схему.
  • узлы хранятся от вершины и далее вниз, уровень за уровнем.
  • узлы одного уровня хранятся в массиве слева направо.

Запишем в виде массива пирамиду, изображенную выше.. Слева-направо, сверху-вниз: 94 67 18 44 55 12 06 42. На рисунке место элемента пирамиды в массиве обозначено цифрой справа-вверху от него.

Восстановить пирамиду из массива как геометрический объект легко — достаточно вспомнить схему хранения и нарисовать, начиная от корня.

Hачать построение пирамиды можно с a[k]. a[n], k = [size/2]. Эта часть массива удовлетворяет свойству пирамиды, так как не существует индексов i,j: i = 2i+1 ( или j = 2i+2 ). Просто потому, что такие i,j находятся за границей массива.

Следует заметить, что неправильно говорить о том, что a[k]..a[n] является пирамидой как самостоятельный массив. Это, вообще говоря, не верно: его элементы могут быть любыми. Свойство пирамиды сохраняется лишь в рамках исходного, основного массива a[0]. a[n].

Далее будем расширять часть массива, обладающую столь полезным свойством, добавляя по одному элементу за шаг. Следующий элемент на каждом шаге добавления — тот, который стоит перед уже готовой частью.

Чтобы при добавлении элемента сохранялась пирамидальность, будем использовать следующую процедуру расширения пирамиды a[i+1]..a[n] на элемент a[i] влево:

  1. Смотрим на сыновей слева и справа — в массиве это a[2i+1] и a[2i+2] и выбираем наибольшего из них.
  2. Если этот элемент больше a[i] — меняем его с a[i] местами и идем к шагу 2, имея в виду новое положение a[i] в массиве. Иначе конец процедуры.

Новый элемент «просеивается» сквозь пирамиду.

Пирамидальная сортировка matlab

Sort array elements

Syntax

Description

B = sort( A ) sorts the elements of A in ascending order.

If A is a vector, then sort(A) sorts the vector elements.

If A is a matrix, then sort(A) treats the columns of A as vectors and sorts each column.

If A is a multidimensional array, then sort(A) operates along the first array dimension whose size does not equal 1, treating the elements as vectors.

B = sort( A , dim ) returns the sorted elements of A along dimension dim . For example, if A is a matrix, then sort(A,2) sorts the elements of each row.

B = sort( ___ , direction ) returns sorted elements of A in the order specified by direction using any of the previous syntaxes. ‘ascend’ indicates ascending order (the default) and ‘descend’ indicates descending order.

B = sort( ___ , Name,Value ) specifies additional parameters for sorting. For example, sort(A,’ComparisonMethod’,’abs’) sorts the elements of A by magnitude.

[ B , I ] = sort( ___ ) also returns a collection of index vectors for any of the previous syntaxes. I is the same size as A and describes the arrangement of the elements of A into B along the sorted dimension. For example, if A is a vector, then B = A(I) .

Examples

Sort Vector in Ascending Order

Create a row vector and sort its elements in ascending order.

Sort Matrix Rows in Ascending Order

Create a matrix and sort each of its rows in ascending order.

Sort Matrix Columns in Descending Order

Create a matrix and sort its columns in descending order.

Sort String Array

Starting in R2017a, you can create string arrays using double quotes, and sort them using the sort function. Sort strings in each column of a string array according to Unicode® dictionary order.

Sort the strings in each row.

Sort and Index datetime Array

Create an array of datetime values and sort them in ascending order, that is, from the earliest to the latest calendar date.

Читать еще:  Защита разъемов электронного оборудования от вибрации

B lists the sorted dates and I contains the corresponding indices of A .

Access the sorted elements from the original array directly by using the index array I .

Sort 3-D Array

Create a 2-by-2-by-2 array and sort its elements in ascending order along the third dimension.

Use A(:) , the column representation of A , to sort all of the elements of A .

Complex Vector

Sort the elements of a complex vector by their real parts. For elements with equal real parts, sort breaks the tie based on their imaginary parts.

Input Arguments

A — Input array
vector | matrix | multidimensional array

Input array, specified as a vector, matrix, or multidimensional array.

If A is a scalar, then sort(A) returns A .

If A is complex, then by default, sort sorts the elements by magnitude. If more than one element has equal magnitude, then the elements are sorted by phase angle on the interval (−π, π].

If A is a cell array of character vectors or a string array, then sort(A) sorts the elements according to the code order for the UTF-16 character encoding scheme. The sort is case-sensitive. For more information on sorting character and string arrays, see Sort Order for Character and String Arrays.

If A is a string array, then sort reorders the elements of the array, but does not reorder characters within the strings.

If A is a categorical array, then the sorting order is based on the category order returned by categories(A) .

Data Types: double | single | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char | string | cell | categorical | datetime | duration
Complex Number Support: Yes

dim — Dimension to operate along
positive integer scalar

Dimension to operate along, specified as a positive integer scalar. If no value is specified, then the default is the first array dimension whose size does not equal 1.

Consider a matrix A . sort(A,1) sorts the elements in the columns of A .

sort(A,2) sorts the elements in the rows of A .

sort returns A if dim is greater than ndims(A) . dim is not supported when A is a cell array, that is, sort only operates along the first array dimension whose size does not equal 1.

Data Types: double | single | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64

direction — Sorting direction
‘ascend’ (default) | ‘descend’

Sorting direction, specified as ‘ascend’ or ‘descend’ . direction is not supported when A is a cell array, that is, sort only sorts in ascending order.

Name-Value Pair Arguments

Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

Example: sort(A,’MissingPlacement’,’last’)

‘MissingPlacement’ — Placement of missing values
‘auto’ (default) | ‘first’ | ‘last’

Placement of missing values ( NaN , NaT , , and missing ) specified as the comma-separated pair consisting of ‘MissingPlacement’ and one of the following:

‘auto’ — Missing elements are placed last for ascending order and first for descending order.

‘first’ — Missing elements are placed first.

‘last’ — Missing elements are placed last.

‘ComparisonMethod’ — Element comparison method
‘auto’ (default) | ‘real’ | ‘abs’

Element comparison method, specified as the comma-separated pair consisting of ‘ComparisonMethod’ and one of the following:

‘auto’ — Sort A by real(A) when A is real, and sort by abs(A) when A is complex.

‘real’ — Sort A by real(A) when A is real or complex. If A has elements with equal real parts, then use imag(A) to break ties.

‘abs’ — Sort A by abs(A) when A is real or complex. If A has elements with equal magnitude, then use angle(A) in the interval (-π,π] to break ties.

Output Arguments

B — Sorted array
vector | matrix | multidimensional array

Sorted array, returned as a vector, matrix, or multidimensional array. B is the same size and type as A . The order of the elements in B preserves the order of any equal elements in A .

Data Types: double | single | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | logical | char | string | cell | categorical | datetime | duration

I — Sort index
vector | matrix | multidimensional array

Sort index, returned as a vector, matrix, or multidimensional array. I is the same size as A . The index vectors are oriented along the same dimension that sort operates on. For example, if A is a 2-by-3 matrix, then [B,I] = sort(A,2) sorts the elements in each row of A . The output I is a collection of 1-by-3 row index vectors describing the rearrangement of each row of A .

More About

Sort Order for Character and String Arrays

MATLAB ® stores characters as Unicode ® using the UTF-16 character encoding scheme. Character and string arrays are sorted according to the UTF-16 code point order. For the characters that are also the ASCII characters, this order means that uppercase letters come before lowercase letters. Digits and some punctuation also come before letters.

The sortrows function provides additional flexibility for subsorting over multiple columns of matrix or table inputs.

The sort function and the relational operators use different orderings for complex numbers. For more information, see Relational Operations.

Extended Capabilities

Tall Arrays
Calculate with arrays that have more rows than fit in memory.

This function supports tall arrays with the limitations:

Читать еще:  Php mssql connect

You must specify the dimension to sort, as in sort(X,dim) .

Sorting the tall dimension, as in sort(X,1) , is only supported for column vectors.

For more information, see Tall Arrays.

C/C++ Code Generation
Generate C and C++ code using MATLAB® Coder™.

Usage notes and limitations:

The first input argument must not be a cell array.

If A is complex with all zero imaginary parts, then MATLAB might convert A to real(A) before calling sort(A) . In this case, MATLAB sorts A by real(A) , but the generated code sorts A by abs(A) . To make the generated code match MATLAB, use sort(real(A)) or sort(A,’ComparisonMethod’,’real’) . See Code Generation for Complex Data with Zero-Valued Imaginary Parts (MATLAB Coder).

If you supply dim , then it must be constant.

GPU Arrays
Accelerate code by running on a graphics processing unit (GPU) using Parallel Computing Toolbox™.

This function fully supports GPU arrays. For more information, see Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox).

Distributed Arrays
Partition large arrays across the combined memory of your cluster using Parallel Computing Toolbox™.

This function fully supports distributed arrays. For more information, see Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox).

Пирамидальная сортировка matlab

Пирамидальная сортировка (англ. Heapsort , «Сортировка кучей») — алгоритм сортировки, работающий в худшем, в среднем и в лучшем случае (то есть гарантированно) за O(n log n) операций при сортировке n элементов. Количество применяемой служебной памяти не зависит от размера массива (то есть, O(1)).

Может рассматриваться как усовершенствованная сортировка пузырьком, в которой элемент всплывает (min-heap) / тонет (max-heap) по многим путям.

Необходимо отсортировать массив , размером . Построим на базе этого массива за невозрастающую кучу. Так как по свойству кучи максимальный элемент находится в корне, то, поменявшись его местами с , он встанет на свое место. Далее вызовем процедуру , предварительно уменьшив на . Она за просеет на нужное место и сформирует новую кучу (так как мы уменьшили ее размер, то куча располагается с по , а элемент находится на своем месте). Повторим эту процедуру для новой кучи, только корень будет менять местами не с , а с . Делая аналогичные действия, пока не станет равен , мы будем ставить наибольшее из оставшихся чисел в конец не отсортированной части. Очевидно, что таким образом, мы получим отсортированный массив.

Пирамидальная сортировка matlab

Итак, мы постепенно переходим от более-менее простых к сложным, но эффективным методам. Пирамидальная сортировка является первым из рассматриваемых методов, быстродействие которых оценивается как O(n log n).

В качестве некоторой прелюдии к основному методу, рассмотрим перевернутую сортировку выбором. Во время прохода, вместо вставки наименьшего элемента в левый конец массива, будем выбирать наибольший элемент, а готовую последовательность строить в правом конце.

Пример действий для массива a[0]. a[7]:

Вертикальной чертой отмечена левая граница уже отсортированной(правой) части массива.

Рассмотрим оценку количества операций подробнее.
Всего выполняется n шагов, каждый из которых состоит в выборе наибольшего элемента из последовательности a[0]..a[i] и последующем обмене. Выбор происходит последовательным перебором элементов последовательности, поэтому необходимое на него время: O(n). Итак, n шагов по O(n) каждый — это O(n 2 ).

Произведем усовершенствование: построим структуру данных, позволяющую выбирать максимальный элемент последовательности не за O(n), а за O(logn) времени. Тогда общее быстродействие сортировки будет n*O(logn) = O(n log n).

Эта структура также должна позволять быстро вставлять новые элементы (чтобы быстро ее построить из исходного массива) и удалять максимальный элемент (он будет помещаться в уже отсортированную часть массива — его правый конец).

Итак, назовем пирамидой(Heap) бинарное дерево высоты k, в котором

  • все узлы имеют глубину k или k-1 — дерево сбалансированное.
  • при этом уровень k-1 полностью заполнен, а уровень k заполнен слева направо, т.е форма пирамиды имеет приблизительно такой вид:
  • выполняется «свойство пирамиды»: каждый элемент меньше, либо равен родителю.

Как хранить пирамиду? Наименее хлопотно — поместить ее в массив.

Соответствие между геометрической структурой пирамиды как дерева и массивом устанавливается по следующей схеме:

  • в a[0] хранится корень дерева
  • левый и правый сыновья элемента a[i] хранятся, соответственнно, в a[2i+1] и a[2i+2]

Таким образом, для массива, хранящего в себе пирамиду, выполняется следующее характеристическое свойство: a[i] >= a[2i+1] и a[i] >= a[2i+2].

Плюсы такого хранения пирамиды очевидны:

  • никаких дополнительных переменных, нужно лишь понимать схему.
  • узлы хранятся от вершины и далее вниз, уровень за уровнем.
  • узлы одного уровня хранятся в массиве слева направо.

Запишем в виде массива пирамиду, изображенную выше.. Слева-направо, сверху-вниз: 94 67 18 44 55 12 06 42. На рисунке место элемента пирамиды в массиве обозначено цифрой справа-вверху от него.

Восстановить пирамиду из массива как геометрический объект легко — достаточно вспомнить схему хранения и нарисовать, начиная от корня.

Hачать построение пирамиды можно с a[k]. a[n], k = [size/2]. Эта часть массива удовлетворяет свойству пирамиды, так как не существует индексов i,j: i = 2i+1 ( или j = 2i+2 ). Просто потому, что такие i,j находятся за границей массива.

Следует заметить, что неправильно говорить о том, что a[k]..a[n] является пирамидой как самостоятельный массив. Это, вообще говоря, не верно: его элементы могут быть любыми. Свойство пирамиды сохраняется лишь в рамках исходного, основного массива a[0]. a[n].

Далее будем расширять часть массива, обладающую столь полезным свойством, добавляя по одному элементу за шаг. Следующий элемент на каждом шаге добавления — тот, который стоит перед уже готовой частью.

Читать еще:  Метод простых итераций matlab

Чтобы при добавлении элемента сохранялась пирамидальность, будем использовать следующую процедуру расширения пирамиды a[i+1]..a[n] на элемент a[i] влево:

  1. Смотрим на сыновей слева и справа — в массиве это a[2i+1] и a[2i+2] и выбираем наибольшего из них.
  2. Если этот элемент больше a[i] — меняем его с a[i] местами и идем к шагу 2, имея в виду новое положение a[i] в массиве. Иначе конец процедуры.

Новый элемент «просеивается» сквозь пирамиду.

Визуализации алгоритмов сортировки

  • Подборки, 26 сентября 2017 в 21:04
  • Евгений Туренко

Алгоритмы сортировки упорядочивают элементы по определённому критерию. В день появления первых компьютерных вычислений появился и повод для споров между исследователями. Причиной разногласий послужил поиск эффективных способов решения не только для общих задач, но и для сложных проблем. К таким задачам и проблемам также относится тема сортировки элементов по определённому критерию.

Визуализация алгоритмов сортировки служит для того, чтобы понять, как работают одни из самых известных алгоритмов сортировки.

Сортировка вставками (Insertion sort)

Несмотря на то что этот алгоритм сортировки имеет довольно большую вычислительную сложность, он остаётся полезным, когда данные почти полностью отсортированы или размер данных не очень велик.

В алгоритме Insertion sort элементы входной последовательности просматриваются по одному, и каждый новый поступивший элемент размещается в подходящее место среди ранее упорядоченных элементов.

Временная сложность алгоритма — O(n 2 )

С исходным кодом алгоритма и его интерактивной презентацией вы сможете ознакомиться на специальном ресурсе.

Сортировка пузырьком (Bubble sort)

Для понимания и реализации этот алгоритм — простейший, но эффективен он лишь для небольших массивов. Алгоритм считается учебным и практически не применяется вне учебной литературы, вместо него на практике применяются более эффективные алгоритмы сортировки.

В то же время метод сортировки обменами лежит в основе некоторых более совершенных алгоритмов, таких как сортировка перемешиванием, пирамидальная сортировка и быстрая сортировка.

С исходным кодом алгоритма и его интерактивной презентацией вы сможете ознакомиться на специальном ресурсе.

Сортировка выбором (Selection sort)

Сортировка выбором — это некий гибрид между пузырьковой и сортировкой вставками. Как и сортировка пузырьком, этот алгоритм проходит по массиву раз за разом, перемещая одно значение на правильную позицию. Однако, в отличие от пузырьковой сортировки, он выбирает наименьшее неотсортированное значение вместо наибольшего. Как и при сортировке вставками, упорядоченная часть массива расположена в начале, в то время как в пузырьковой сортировке она находится в конце.

С исходным кодом алгоритма и его интерактивной презентацией вы сможете ознакомиться на специальном ресурсе.

Сортировка Шелла (Shell Sort)

Алгоритм сортировки, являющийся усовершенствованным вариантом сортировки вставками. Идея метода Шелла состоит в сравнении элементов, стоящих не только рядом, но и на определённом расстоянии друг от друга. Иными словами — это сортировка вставками с предварительными «грубыми» проходами.

Невзирая на то, что сортировка Шелла во многих случаях медленнее, чем быстрая сортировка, она имеет ряд преимуществ:

  • отсутствие потребности в памяти под стек;
  • отсутствие деградации при неудачных наборах данных — быстрая сортировка легко деградирует до O(n²), что хуже, чем худшее гарантированное время для сортировки Шелла.

С исходным кодом алгоритма и его интерактивной презентацией вы сможете ознакомиться на специальном ресурсе.

Сортировка слиянием (Merge sort)

Алгоритм сортировки упорядочивает списки (или другие структуры данных, доступ к элементам которых можно получать только последовательно, например — потоки) в определённом порядке. Эта сортировка — хороший пример использования принципа «разделяй и властвуй». Сначала задача разбивается на несколько подзадач меньшего размера. Затем эти задачи решаются с помощью рекурсивного вызова или непосредственно, если их размер достаточно мал. Наконец, их решения комбинируются, и получается решение исходной задачи.

С исходным кодом алгоритма и его интерактивной презентацией вы сможете ознакомиться на исходном ресурсе.

Быстрая сортировка (Quick Sort)

Этот широко известный алгоритм сортировки был разработан английским информатиком Чарльзом Хоаром во время его работы в МГУ в советские годы.

Один из самых быстрых известных универсальных алгоритмов сортировки массивов: в среднем O(n log n) обменов при упорядочении n-элементов; из-за наличия ряда недостатков на практике обычно используется с некоторыми доработками.

Быстрая сортировка относится к алгоритмам «разделяй и властвуй».

Алгоритм состоит из трёх шагов:

  1. Выбор опорного элемента из массива.
  2. Перераспределение элементов в массиве таким образом, что элементы меньше опорного помещаются перед ним, а больше или равные — после.
  3. Рекурсивное применение первых двух шагов к двум подмассивам слева и справа от опорного элемента. Рекурсия не применяется к массиву, в котором только один или отсутствуют элементы.

С исходным кодом алгоритма и его интерактивной презентацией вы сможете ознакомиться на специальном ресурсе.

Пирамидальная сортировка (Heapsort)

Heapsort — алгоритм, в основе которого лежит сравнение.

Алгоритм пирамидальной сортировки можно рассматривать как улучшенную версию алгоритма сортировки выбором: он делит входные данные на отсортированную и несортированную области, а затем последовательно уменьшает несортированную область, извлекая самый большой элемент и перемещая его в сортированную область. Улучшение состоит в том, что используется бинарная куча, а не алгоритм линейного поиска, чтобы найти наибольшее значение.

Пирамидальная сортировка является одним из методов, быстродействие которых оценивается как O(n log n).

С исходным кодом алгоритма и его интерактивной презентацией вы можете ознакомиться в исходной статье.

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты 220 Вольт
Adblock
detector
×
×